Coeficientes polinomiales en series exponenciales: ¿cómo puedo convertir esto en un compuesto de$\exp(x)$?

Question

Supongamos que tenemos la exponencial de la serie $ \small \exp(x) = 1+ {x \over 1!} + {x^2 \over 2! } + \cdots = \sum\limits_{k=0 }^\infty {x^k \over k!} $ modificado con un polinomio en los coeficientes
decir $ \qquad \displaystyle f_1(x)= \sum_{k=0}^\infty { k^2 + k \over 2} {x^k \over k!} $
o $ \qquad \displaystyle f_2(x)= \sum_{k=0}^\infty ( 15 k^3 + 15 k^2 - 10k - 8) {x^k \over k!} $
o en general
$ \qquad \displaystyle f_3(x)= \sum_{k=0}^\infty ( d k^3 + c k^2 + b k + a) {x^k \over k!} $

- : ¿hay una buena fórmula/algoritmo/esquema de cómo esto tiene que ser expresado como la composición de la $\exp(x)$-a la función? (Sé que esto puede ser resuelto mediante los instrumentos derivados y la cancelación de k en el polinomio con el factoriales en el denominador - estoy pidiendo una mano/memorizable la traducción de la fórmula )

Porque puedo factor de mis ejemplos en estudio: ¿existe posiblemente una especial práctico esquema, si los polinomios son dadas en una forma parecida a esta
$ \qquad \displaystyle f_2(x)= \sum_{k=0}^\infty ( k-1)(k-2) {x^k \over k!} $ ?

Answer 1

\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty k\frac{x^k}{k!}&=&\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{(k-1)!}=x\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=xe^x;\cr \sum_{k=0}^\infty k^2\frac{x^k}{k!}&=&x\sum_{k=1}^\infty k\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=x\sum_{k=0}^\infty(k+1)\frac{x^k}{k!}=x(x+1)e^x\cr \sum_{k=0}^\infty k^3\frac{x^k}{k!}&=&\sum_{k=1}^\infty k^2\frac{x^k}{(k-1)!}=x\sum_{k=0}^\infty(k+1)^2\frac{x^k}{k!}\cr &=&x\sum_{k=0}^\infty(k^2+2k+1)\frac{x^k}{k!}=x[x(x+1)+2x+1]e^x\cr &=&x(x^2+3x+1)e^x. \end {eqnarray} Por lo tanto \begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty (dk^3+ck^2+bk+a)\frac{x^k}{k!}&=&d\sum_{k=0}^\infty k^3\frac{x^k}{k!}+c\sum_{k=0}^\infty k^2\frac{x^k}{k!}+b\sum_{k=0}^\infty k\frac{x^k}{k!}+a\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\cr &=&dx(x^2+3x+1)e^x+c(x^2+x)e^x+bxe^x+ae^x\cr &=&[a+bx+c(x^2+x)+d(x^3+3x^2+x)]e^x\cr &=&[a+(b+c+d)x+(c+3d)x^2+dx^3]e^x \end {eqnarray}

Answer 2

Dobiński la fórmula para la Campana de polinomios es fácil de cambiar de lugar para sus propósitos:

$$\mathscr{B}_n(x)\exp\,x=\sum_{k=0}^\infty \frac{k^n x^k}{k!}$$

Una representación conveniente para la Campana de polinomios es

$$\mathscr{B}_n(x)=\sum_{j=0}^n\left\{n\atop k\right\}x^k$$

donde $\left\{n\atop k\right\}$ es una Stirling subconjunto número (número de Stirling de segundo tipo).

Por lo tanto, en principio, siempre se puede expresar en una serie de la forma

$$\sum_{k=0}^\infty p(k)\frac{x^k}{k!}$$

para un polinomio $p(k)$ en términos de un polinomio multiplicado por $\exp\,x$.

Answer 3

$$P_3=k(k-1)(k-2)=k^3-3k^2+2k$ $$$P_2=k(k-1)=k^2-k$ $$$P_1=k$ $

Y$\sum P_i \frac{x^k}{k!}=x^ie^x$

$$ \begin{array}{ccl} 15k^3+15k^2-10k-8&=&15P_3+60k^2-40k-8\\ &=&15P_3+60P_2+20k-8\\ &=&15P_3+60P_2+20P_1-8P_0\\ \end {array} $$

Por lo tanto$$\sum(15k^3+15k^2-10k-8)\frac{x^k}{k!}=(15x^3+60x^2+20x-8)e^x$ $

Answer 4

Así, con las respuestas de @misericordia y el otro encuestados he encontrado ahora una transformación simple esquema, que se ajusta a mis necesidades perfectamente.

Si denotamos los coeficientes del polinomio en la serie de términos como la fila-vector $S = [a,b,c,d,...z] $, los coeficientes en la x de la composición de la exponencial de la serie a con el vector $T=[A,B,C,D,...,Z] $ y la matriz de la Striling números 2'nd tipo como S2 donde

$S2 = \pequeño \begin{bmatrix} 1 & . & . & . & . & . & . & \cdots \\ 0 & 1 & . & . & . & . & . & \cdots \\ 0 & 1 & 1 & . & . & . & . & \cdots \\ 0 & 1 & 3 & 1 & . & . & . & \cdots \\ 0 & 1 & 7 & 6 & 1 & . & . & \cdots \\ 0 & 1 & 15 & 25 & 10 & 1 & . & \cdots \\ 0 & 1 & 31 & 90 & 65 & 15 & 1 & \cdots \\ \vdots &\vdots &\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{bmatrix}$ de tamaño apropiado,

entonces por $ S \cdot S2 = T $ se obtiene la necesaria coeficientes para la composición en T.

Esto ayuda también a resolver el primer paso en mi pregunta anterior, debido a que los polinomios en x, que describen la composición de la exponencial de la serie tienen todas el factor de $(x-1)$ en ellos. Entonces, si me puse x=1 , esto significa, que todos los coeficientes de la primera columna de la supuesta "Nulo de la matriz" son, de hecho, cero.
Mi pregunta principal que se plantea esta en una forma diferente; pero si puedo cambiar el orden de la suma en consecuencia, a continuación, tengo por esto, que el poder formal de la serie de la función $f_1(x)$ tiene sólo que los ceros en todos los coeficientes de x, por lo que, de hecho, la función de $f_1(x)$ debe ser cero para todos los $x$. Lindo...