Aplicaciones reales de los espacios vectoriales generales

Question

Los estudiantes familiarizados con el espacio euclidiano encuentran la introducción de los espacios vectoriales generales bastante aburrida y abstracta, en particular cuando se describen espacios vectoriales como el conjunto de polinomios o el conjunto de funciones continuas. ¿Existe una forma tangible de introducir esto? ¿Hay ejemplos que tengan un impacto real? Me gustaría presentar esto de una manera atractiva a los estudiantes de introducción. ¿Existen aplicaciones en la vida real de los espacios vectoriales generales?

Answer 1

Hace muchos años, estaba tomando una cerveza con un par de compañeros de posgrado de matemáticas en algún lugar de Harvard Square, y escuchamos a un tipo en la mesa de al lado tratando de impresionar a una chica diciéndole que estaba tomando un curso de Álgebra Lineal que era "tan difícil" al tener que tratar con espacios de "muchas dimensiones".

No estoy seguro de que esta técnica de álgebra lineal para ligar en un bar pueda figurar entre las "aplicaciones de la vida real", pero, si funciona, seguro que ofrece una motivación importante.

Answer 2

Dependiendo de la profundidad que quieras introducir, creo que deberías mencionar el análisis de fourier. Incluso si no han tomado cursos de ecuaciones diferenciales antes, mostrar que las funciones forman un espacio vectorial es bastante trivial. Una vez que tienes esto, sabes que puedes introducir la idea de una base para este espacio, que te permite descomponer de forma fiable ciertas funciones como si estuvieran formadas por otras. Las aplicaciones son obviamente abundantes. Tal vez no sean "evidentes" para tus alumnos, pero elige la que más te guste, ya que probablemente tenga una utilidad en lo que estén estudiando.

La cuestión es que este concepto de "representar una función como una suma de otras" sería difícil de justificar, o de plantear realmente como un método concreto. Son las mismas ideas que la proyección de vectores y la búsqueda de una base, pero en cosas que no parecen vectores en absoluto . La idea abstracta de los espacios vectoriales permite trasladar todas estas potentes herramientas a otros problemas.

Answer 3

¿Qué tienen de aburrido los polinomios y las funciones de valor real?

Los polinomios tienen un gran uso en la ciencia, principalmente en las aproximaciones utilizando interpolaciones.

Dado que el conjunto de polinomios de grado menor que $n$ es un espacio vectorial podemos tomar una base ortonormal para él y encontrar fácilmente la aproximación para cualquier función de valor real (dependiendo del producto interno, por supuesto). La razón por la que podemos hacer esto es que las funciones de valor real son también un espacio vectorial.

Answer 4

No sé si esto es lo que está buscando, pero...

El funcionamiento de los teléfonos inteligentes 4G depende de la capacidad de los teléfonos para realizar rápidamente determinadas transformaciones (DFT/IDFT) en ciertos subespacios (por ejemplo) de 1024 dimensiones del espacio de funciones (periódicas).

Busca OFDM para más detalles.

Answer 5

¿Es la bolsa lo suficientemente real? De acuerdo, tendrás que abstraerte del hecho de que sólo puedes comprar o vender acciones completas, no fracciones arbitrarias de acciones (aunque dada la forma moderna de negociar acciones, ni siquiera estoy completamente seguro de que realmente no puedas ;-)). Pero está claro que si, por ejemplo, pones una orden para vender dos acciones de Microsoft y comprar una de Apple, y luego pones otra orden para comprar dos acciones de Apple y cinco de IBM, al final vendes dos acciones de Microsoft y compras tres de Apple y cinco de IBM. Así que tienes la suma de vectores (-2,1,0,0,....) + (0,2,5,0...) = (-2,3,5,0...). Esto también tiene la ventaja de que no hay un orden natural de su base (no hay ninguna razón por la que usted debe enumerar primero las acciones de Microsoft, o incluso por qué usted debe poner todas las acciones en un orden lineal). La multiplicación por un escalar también es clara: compras/vendes, por ejemplo, el doble de acciones.

También se consigue un doble espacio natural: El precio. Es un mapeo de un vector (orden de venta/compra) a un escalar (dinero a pagar/ganar), y es obviamente lineal (si compras una acción de Apple y dos de Microsoft, pagas el precio de una acción de Apple más el doble del precio de una acción de Microsoft. Los coventes de bolsa aparecen regularmente en algunos periódicos y en ciertas páginas web.

También tiene la ventaja de no tener un producto escalar intrínseco (no se puede preguntar por el producto de la orden "vender dos acciones de Microsoft" y la orden "comprar una acción de Microsoft y vender tres acciones de Apple"). Cuando se viene de espacios vectoriales euclidianos, se tiende a dar por sentado un producto escalar, por lo que tener un espacio donde un producto escalar simplemente no tiene sentido es probablemente una buena idea.