He descubierto que entre cada 2 números racionales hay un número irracional, y entre cada 2 números irracionales, hay un número racional.
¿Significa esto que los números racionales e irracionales se presentan en un patrón alterno a lo largo de la línea real?
No. Sus declaraciones son correctas, pero no es correcto pensar de los números reales como este. Debido a que los racionales y irrationals son densos en $\mathbb{R}$, para cualesquiera dos números en el conjunto usted puede encontrar a otro entre ellos (en conjunto, como usted ha mencionado), por lo que no puede tener una noción de 'contiguo'-ness de racionales y irrationals.
Para una respuesta más profunda que usted puede estar interesado en el fin de la teoría.
He aquí otro argumento:
Tener los racionales y irrationals de alternativa cuando alineados " en algún sentido, tendríamos que tomar cada número irracional, y lo puso en medio de otros dos números racionales. Sin embargo, esto implicaría que para cada irracionales, hay un número racional que se alinea a la derecha del mismo, por lo que se podría hacer una 1-a-1 asignación de la irrationals a los racionales.
Pero los racionales son numerables, lo que implicaría que el irrationals son contables demasiado!
Pero el irrationals son innumerables!
por lo que es imposible a la línea de los racionales y irrationals para que se alternen y cada número sólo aparece una vez.
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