¿Hay una sola función de valor real, %% continuo$f:[100,\infty]\to\mathbb R$tal que$f(f(x)) = \log x$ para cada$x$ en su dominio?

Question

Considere la función $L_i(x)=\log^{(i)} x$ cuyo valor es determinado tomando el registro de $x$ -- $i$ veces. Por ejemplo,$L_2(x) = \log\log x$.

Ahora, quiero extender esta noción a la no-entero $i$'s, y específicamente $f(x)\triangleq L_{0.5}(x)$.

En fin, pensé podemos definir $f(x)$ por la ecuación $$f(f(x)) = \log x$$

Hay un único valor real función continua $f$ de manera tal que en su dominio satisface $f(f(x))=\log x$?

Sin el requisito de continuidad, el supuesto implícito de que $f(f(x))=\log x$ no parece ser suficiente para que la función sea única. Si es que de hecho no, ¿alguien puede sugerir una mejor manera de generalizar $\{L_i\}_{i\in\mathbb N}$ a los no-entero $i$'s? Hay un nombre para esta función?

Answer 1

Sí, en 1950 Hellmuth Kneser solucionado $g(g(x)) = e^x$ en toda la recta real con $g$ real de la analítica. Puede utilizar la inversa de su solución. No se puede imaginar que hay unicidad. Las situaciones para las que no hay una única solución son aquellos con un punto fijo de la función original. Con raras excepciones, la respuesta no puede ser analítica en el punto fijo.

https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_square_root