Demostrar analíticamente. Las medianas de un triángulo se intersecan en un punto de trisección de cada una.

Question

Las medianas de un triángulo se intersectan en un punto de trisección de cada una.

Answer 1

Permita que los vértices del triángulo estén en los puntos (vectores) $u$, $v$ y $w.

El punto medio $m$ del lado que une $u$ y $v$ es $\frac{u+v}{2}$.

El punto en el segmento de línea $mw$, un tercio del camino desde $m$ hacia $w$, es $$\frac{2m}{3}+\frac{w}{3}.\tag{1}$$

Sustituya $\frac{u+v}{2}$ por $m$ en (1). Obtenemos $$\frac{1}{3}(u+v+w).$$ Esta expresión es simétrica en $u$, $v$ y $w$, por lo que se encuentra en todas las tres medianas.

Nota: Para que la prueba parezca más "analítica" podríamos volverla más fea. Permita que las coordenadas de los vértices sean $(u_x,u_y)$, $(v_x,v_y)$, $(w_x,w_y)$. Luego, como se mencionó anteriormente, calculamos las coordenadas de $m$, y luego del punto de triseción.

Answer 2

Pista: Considera las fórmulas analíticas que se relacionan con los $\color{#00A000}{\text{vértices}}$, $\color{#C00000}{\text{puntos medios}}$ y $\color{#0000FF}{\text{mediana}}$:

$\hspace{3.5cm}$

Answer 3

Puedo proponer la siguiente evidencia. Sea $ABC$ un triángulo arbitrario de un plano cartesiano. Que sus vértices $A$, $B$ y $C$ tengan las coordenadas $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$ y $(x_3, y_3)$ respectivamente. Luego, los puntos medios $A_1$, $B_1$ y $C_1$ de los lados $BC$, $CA$ y $AB$ respectivamente tienen las coordenadas $(\frac{x_2+x_3}2, \frac{y_1+y_3}2)$, $(\frac{x_1+x_3}2, \frac{y_1+y_3}2)$ y $(\frac{x_1+x_2}2, \frac{y_1+y_2}2)$ respectivamente. Desplazando, si es necesario, el cero $O$ del plano cartesiano, sin pérdida de generalidad, podemos asumir que $x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=0$. Luego, todos los determinantes

$\left|\begin{matrix} x_1 & y_1 \\ \frac{x_2+x_3}2 & \frac{y_2+y_3}2\\ \end{matrix} \right|,$ $\left|\begin{matrix} x_2 & y_2 \\ \frac{x_1+x_3}2 & \frac{y_1+y_3}2\\ \end{matrix} \right|$, y $\left|\begin{matrix} x_3 & y_3 \\ \frac{x_1+x_2}2 & \frac{y_1+y_2}2\\ \end{matrix} \right|$

son iguales a cero. Por lo tanto, todos los triángulos $AOA_1$, $BOB_1$ y $COC_1$ tienen área cero. Por lo tanto, $O$ es el punto de intersección de las medianas del triángulo $ABC$. Además, ${\bf AO}=(-x_1,-y_1) =2(\frac{x_2+x_3}2, \frac{y_1+y_3}2)=2{\bf OA_1}$. De manera similar, ${\bf BO}=2{\bf OB_1}$ y ${\bf CO}=2{\bf OC_1}$. Así que $O$ es el punto de trisección de cada uno de los segmentos $AA_1$, $BB_1$ y $CC_1$.

Answer 4

Aquí está la solución fea:

Primero, note que $a, b, c$ son afínmente independientes, es decir, $\binom{1}{a}, \binom{1}{b}, \binom{1}{c}$ son linealmente independientes. (De lo contrario, los tres puntos estarían en una línea.)

Escoge los vértices $a, b$ primero, y los puntos medios correspondientes en los lados opuestos. Queremos encontrar la intersección de las medianas, es decir, encontrar $\lambda_1, \lambda_2$ tal que $$(1-\lambda_1)a + \frac{\lambda_1}{2}b + \frac{\lambda_1}{2}c = \frac{\lambda_1}{2}a + (1-\lambda_1)b + \frac{\lambda_1}{2}c$$ Rearreglando obtenemos $$ a(1-\lambda_1-\frac{\lambda_2}{2}) + b(\frac{\lambda_1}{2}-(1-\lambda_2))+c(\frac{\lambda_1}{2}-\frac{\lambda_2}{2}) = 0$$ Un cálculo rápido muestra que $$1(1-\lambda_1-\frac{\lambda_2}{2}) + 1(\frac{\lambda_1}{2}-(1-\lambda_2))+1(\frac{\lambda_1}{2}-\frac{\lambda_2}{2}) = 0$$ de lo que obtenemos que los coeficientes son todos cero (debido a la independencia afín). Resolviendo obtenemos $\lambda_1 = \lambda_2 = \frac{2}{3}$, por lo tanto, la intersección es $\frac{1}{3}(a+b+c)$. Repitiendo con los otros dos pares obtiene la misma respuesta.

Answer 5

Las medianas de un triángulo equilátero deben trisecar por simetría. Cualquier otra forma triangular se puede encontrar realizando una transformación lineal en los vértices del triángulo equilátero, y tales transformaciones preservan las medianas junto con su punto de trisección.