Quiero mostrar que
Cada número real $x$ es el supremum de un conjunto de números racionales $A$.
Mi intento
Deje $A := \{r \in \mathbb{Q} \,|\, r \lt x\}$ ser un conjunto de números racionales que existe $\forall x \in \mathbb{R}$. $A$ está delimitada desde arriba por $x$, por definición, y no está vacía (por ejemplo,$\lfloor x-1 \rfloor \in A$). Por lo tanto $\sup(A)$ existe. Yo reclamo que $\sup(A) = x$ y mostrar las dos condiciones de la supremum.
$\forall a \in A: a \le x$.
Esto es cierto por definición de $A$.
$\forall \varepsilon \gt 0 \,\exists a \in A: a \gt x-\varepsilon$.
Debido a $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$, $\forall x,y \in \mathbb{R} \,\exists r \in \mathbb{Q}: x \lt r \lt y$. Vamos a elegir el número racional $r \in \mathbb{Q}$, por lo que el $x-\varepsilon \lt r \lt x$. A continuación,$r \in A$, por definición, de $A$ $r \gt x-\varepsilon$ según sea necesario. Por lo que el 2. es cierto.
Por lo tanto, $x = \sup(A)$ es de hecho el supremum de $A$.
Preguntas
Es la prueba de la correcta? ¿Crees que yo podría escribir mejor o más fácil? Realmente cualquier comentario se agradece!
