Curiosidad en máximos de la función

Question

Recientemente estuve trabajando con una ecuación de la forma: $$ \frac{\sqrt{x}}{a+bx+c\sqrt{x}} $$ Y me di cuenta de que la maxima (considerando sólo los números reales positivos) siempre estaría en el punto donde: $$ x=\frac ab $$ Esto es fácil de demostrar por encontrar donde la primera derivada es igual a 0. Dada esta "fácil" de resultado, traté de encontrar la lógica detrás de esto, que probablemente debería ser algo fácil, pero no lo encuentro (estoy evidentemente no es un experto en matemáticas, sólo por curiosidad).

Mi pregunta es, debería ser evidente que la función tiene una maxima en ese momento sin tener que calcular la derivada? En el caso de que se debería, podría alguien me explique el razonamiento detrás de esto?

Gracias de antemano. Saludos cordiales, J.

Answer 1

Escribirlo como: $$ \frac{1}{b\sqrt{x}+\cfrac{a}{\sqrt{x}}+c} $$ Then by AM-GM: $ $ b\sqrt {x} + \cfrac {un} {\sqrt {x}} \ge 2 \sqrt{ab} $$ Also by AM-GM, equality holds when $b\sqrt{x}=\cfrac{a}{\sqrt{x}} \iff x = \cfrac{a}{b}\,$, que así da el mínimo del denominador, que a su vez le da la máxima de la fracción.

---

[ Editar ]   Los interpretes arriba la `` declaró la condición en el sentido de que $a,b,c$ y $x$ son números estrictamente positivos.

Answer 2

La función recíproca es

$$\frac a{\sqrt x}+b\sqrt x+c$$ and the position of its extrema is independent of $c$.

Podemos factor $b$ y conseguir

$$b\left(\frac ab\frac 1{\sqrt x}+\sqrt x\right)+c,$$ which shows that the position can only depend on $\dfrac ab$.

Está disminuyendo el término $\dfrac a{\sqrt x}$ y $b\sqrt x$ va en aumento, el extremo se logra cuando sus pendientes son opuestas, que se produce cuando $$\frac a{2x\sqrt x}=\frac b{2\sqrt x}.$ $

Answer 3

la primera derivada está dada por el $$f'(x)=1/2\,{\frac {-bx+a}{ \left( a+bx+c\sqrt {x} \right) ^{2}\sqrt {x}}}$$ the searched extrema ( if they exist) are located at $% $ $x=\frac{a}{b}$