Interpretación de sumas usando$\cdots$

Question

Considerar la suma de %#% $ #%

Esto simplemente significa %#% $ #%

Me preocupa especialmente la situación cuando $$\sum_{1\le k_1

Answer 1

Me puse a escribir una respuesta que dice que claramente la primera notación da $1$ así pero ahora no estoy tan seguro.

Básicamente se define el conjunto $I = \{\,(k_1, \dots, k_r)\,\vert\,1 \leq k_1 < \dots < k_r \leq n\,\}$. Veo tres maneras sensatas para traducir la condición de $1 \leq k_1 < \dots < k_r \leq n$.

1. En primer lugar puede dividir en condiciones para cada una de las $k_i$, es decir,$1 \leq k_1 < k_2$, $k_1 < k_2 < k_3$, $\cdots$, $k_{r-1} < k_r \leq n$ ( y luego se divide cada uno de esos en dos de las desigualdades). Si usted proceder de la siguiente manera, usted no recibe ningún tipo de condiciones en caso de $r = 0$, lo que la deja con la de un elemento de conjunto $\{()\}$ y un valor de $1$.
2. Como alternativa, traducir la condición directamente como $1 \leq k_1$, $k_1 < k_2$, $\cdots$, $k_r \leq n$ lo que le daría $1 \leq n$, en caso de que $r = 0$ e lo $I$ estaría vacío si $n = 0$.
3. Usted podría también traducir la condición como $1 \leq k_i$, $k_i \leq n$ para cada una de las $i$ y $k_1 < k_2$, $\cdots$, $k_{r-1} < k_r$. El tratamiento de las relaciones en el exterior de manera diferente no parece completamente ridículo, después de todo, es una relación diferente. Esto también podría dar el valor de $1$.

A mí me parece que la tercera interpretación es la correcta, pero yo realmente no puedo dar una razón mejor que el que está de acuerdo con su segunda notación que parece razonable. Si desea utilizar la primera notación y el caso de $r = n = 0$ es importante, usted probablemente debería mencionar que valor tiene la intención de que la suma de denotar.

Answer 2

Generalmente el vacío de la suma se define a ser $0$ y el vacío de producto se define como el $1$.

Nos encontramos en Concreto de las Matemáticas por parte de R. L. Graham, D. E. Knuth y O. Patashnik en la sección 2.1:

Escribimos \begin{align*} \sum_{P(k)}a_k\tag{1} \end{align*} como una abreviatura para la suma de todos los términos de $a_k$ tal que $k$ es un número entero satifying una propiedad determinada $P(k)$. Una propiedad $P(k)$ es cualquier declaración acerca de la $k$ que puede ser cierto o falso. Si $P(k)$ es falsa para todos los valores enteros $k$, tenemos un vacío suma; el valor de un vacío de la suma se define como cero.

Considerando OPs suma \begin{align*} \sum_{1\le k_1 < k_2 < \cdots < k_r \le n}k_1k_2\ldots k_r\tag{2} \end{align*} podemos observar de acuerdo a (1) que si $n=0$, la suma es cero, independiente de la configuración de $r$. No necesitamos que preocuparse por la estructura específica de los sumandos, cuando la suma es ya un vacío de la suma.

Los sumandos de $(2)$ son finitos productos \begin{align*} \prod_{j=1}^r k_j\tag{3} \end{align*}

Nos encontramos en la sección 4.2 de que el valor de un vacío de producto es, por definición, dado como $1$. Por lo tanto, si $r=0$ el producto en (3) es igual a $1$.

Answer 3

La suma de $\sum_{1\leq i