¿La existencia del monopolo magnético rompe la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell para los potenciales?

Question

La ausencia de cargas magnéticas se refleja en una de las ecuaciones fundamentales de Maxwell: $$\operatorname{div} \vec B = 0. \tag1$$ Esta ecuación nos permite introducir el concepto de potencial vectorial: $$\vec B = \operatorname{rot} \vec A.$$ Utilizando este concepto, es posible expresar las ecuaciones de Maxwell en una forma simétrica elegante: $$\nabla^2 \vec A - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \vec A}{\partial t^2} = - \frac{\vec j}{\epsilon_0 c^2}, \tag2$$ $$ \nabla^2 \phi -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = - \frac{\rho}{\epsilon_0}. \tag3 $$

Observando, que el vector $\vec A$ y escalar $\phi$ potenciales, así como la densidad de corriente eléctrica $\vec j$ y la densidad de carga $\rho$ forman un 4-vector en el espacio-tiempo de Minkovsky. Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse en una forma covariante, utilizando d'Alembertian: $$\nabla_{\mu}\nabla^{\mu} A_{\nu} = \frac{j_{\nu}}{\epsilon_0}. \tag4$$

Si existen monopolos magnéticos, la ecuación de Maxwell $(1)$ se verá como: $$\operatorname{div} \vec B = \mu_0 c \rho_{\mathrm{magnet}}.$$

Como la divergencia de $\vec{B}$ no es igual a cero, es imposible introducir el concepto de potencial vectorial. Por lo tanto, la ecuación en forma de $(4)$ no se podrá expresar.

Answer 1

Otra opción, además de modificar el potencial $A_\mu = (A_i, \phi)$ de alguna manera, es introducir otro 4-potencial $C_\mu = (C_i, \psi)$ . Entonces el campo eléctrico y magnético vienen dados por $$E = - \nabla \times C - \frac{\partial A}{\partial t} - \nabla \phi$$ $$B = \nabla \times A - \frac{\partial C}{\partial t} - \nabla \psi$$

Puede encontrar más información sobre este enfoque de dos potenciales aquí: http://arxiv.org/abs/math-ph/0203043

Answer 2

Sí, introducir un monopolo magnético en las ecuaciones de Maxwell significa que ya no es posible la existencia de un potencial vectorial definido en todas partes y continuo en todas partes. En particular, esto puede ser molesto porque la representación del potencial vectorial es crucial para la predicción del valor cuantificado para una carga magnética (tanto en la forma en que se desarrolló históricamente, como en la forma en que se presenta habitualmente).

Aunque no se ha afirmado la existencia del monopolo magnético, se ha investigado bastante sobre cómo sortear esta cuestión. La mayoría de las formulaciones se ciñen a alguna forma de potencial vectorial, ya que es el marco existente y resulta muy conveniente. Esto implica que un potencial vectorial compatible con el monopolo se convierte en una bestia menos sencilla. No estoy seguro de cuál es la mejor autoridad en esto, pero Wikipedia dice sobre el tema (y coincide con mi propia comprensión):

En la teoría matemática de los monopolos magnéticos, se permite que A sea indefinido o con valores múltiples en algunos lugares.

El tema fue abordado por primera vez por Dirac, y su posición resumida aquí :

El razonamiento de Dirac muestra que es consistente en la mecánica cuántica describir un monopolo magnético con la Ecuación 3 de potencial vectorial, aunque tenga "s". aunque tenga una singularidad de "cuerda"