Dados dos puntos y un círculo, la construcción de un/el círculo a través de los dos puntos y tocar el dado círculo.
Me encontré con este problema en la Historia del Análisis Numérico por H. Goldstein. Yo pasó algún tiempo en esto. Tengo un método de construcción el uso de radicales eje. Me pregunto si hay un más elementales de la construcción.
Aquí están algunas de las fotos que ilustran el argumento que he mencionado al final de mi primera respuesta. Tiene la virtud de trabajar sin distinguir los casos en los que los dos puntos de $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{B}$ están dentro o fuera de la dada círculo de $\color{blue}{c}$.
Antes de profundizar en la solución vamos a deshacernos de algunos degenerados casos:
Ejercicio de calentamiento: Tratar a todos los casos en que $\color{blue}{A} = \color{blue}{B}$ o uno de $\color{blue}{A}$ o $\color{blue}{B}$ se encuentra en $\color{blue}{c}$.
Así, a partir de este punto, suponemos $\color{blue}{A} \neq \color{blue}{B}$ y que ambos se encuentran, ya sea dentro o fuera del círculo,$\color{blue}{c}$.
La idea es la misma que en la otra respuesta (es decir, user8268 de la solución). Reflejando la configuración en el círculo de $\color{green}{d}$ centro $\color{blue}{B}$ a través de $\color{blue}{A}$ corrige $\color{blue}{A}$ y envía $\color{blue}{B}$ hasta el infinito. Transforma el círculo de $\color{blue}{c}$ en un círculo $\color{blue}{c'}$ y transforma los círculos estamos buscando en las tangentes de $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{c'}$porque $\color{blue}{B}$ es enviado a infinito y el círculo de reflexión conserva los ángulos. Encontrar las tangentes desde el punto de $\color{blue}{A}$ al círculo de $\color{blue}{c'}$ es fácil y sólo necesitamos reflejan los puntos de tangencia $P',Q'$ $\color{blue}{c}$ encontrar $\color{red}{P}$$\color{red}{Q}$. Dibujar los círculos a través de $\color{blue}{A}, \color{blue}{B}, \color{red}{P}$ $\color{blue}{A}, \color{blue}{B}, \color{red}{Q}$ es nuevo sencillo.
Así que aquí está la solución en algo más de detalle:
Reflejar el círculo de $\color{blue}{c}$ en el círculo de $\color{green}{d}$ a través de $\color{blue}{A}$: 
Para encontrar $\color{blue}{c'}$, dibujar la línea a través de $\color{blue}{B}$ $\color{blue}{C}$ (si $\color{blue}{B} = \color{blue}{C}$ dibujar una línea arbitraria a través de $\color{blue}{B}$) y reflejar sus puntos de intersección con $\color{blue}{c}$$\color{green}{d}$. A continuación, el círculo de $\color{blue}{c'}$ es el círculo con el diámetro de los dos reflejan los puntos. (Véase también el punto 2. en mi otra respuesta para más detalles.)
Ejercicio: Probar que $\color{blue}{A}$ siempre está fuera del círculo $\color{blue}{c'}$.
Encontrar las tangentes de$\color{blue}{A}$$\color{blue}{c'}$: 
Llamar a los puntos de tangencia $P'$$Q'$.
Reflejan los puntos de $P'$ $Q'$ $\color{green}{d}$ encontrar $\color{red}{P}$$\color{red}{Q}$: 
Dibujar los círculos a través de$\color{blue}{A}, \color{blue}{B}, \color{red}{P}$$\color{blue}{A}, \color{blue}{B}, \color{red}{Q}$: 
hecho.
Observación: tenga en cuenta que los círculos rojos pasar a través del segundo de los puntos de intersección de las $\color{green}{d}$ con las tangentes de$\color{blue}{A}$$\color{blue}{c'}$. Esto significa que la construcción admite un poco más simple variante (omitir los pasos 3 y 4) si uno no se preocupa de los puntos de $\color{red}{P}$$\color{red}{Q}$. Elegí a explicar de la manera en que lo hice, como el método más eficiente en este comentario no se presentan tan claramente por qué funciona y con el fin de ver que, uno debe considerar los puntos de $\color{red}{P}$$\color{red}{Q}$, de todos modos.
Como una imagen final, en el caso de que ambos $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{B}$ se encuentran fuera de $\color{blue}{c}$: 
Desde su propuesta de solución en los comentarios no siempre funciona, te voy a dar un poco de descripción más detallada de la construcción de la descrita por user8268 (estoy suponiendo que los puntos dados están fuera del dado con un círculo):
cuando no esté seguro de usar siempre el círculo de la inversión :) (aquí wrt. un círculo con el centro en uno de los 2 puntos - después de la inversión, el punto va al infinito, por lo que ahora necesita encontrar una línea para pasar a través de un punto (la imagen del otro punto) y tocar un círculo (la imagen del círculo original). A continuación, aplicar la inversión de nuevo, y la imagen de la línea es el círculo que estás buscando.
Construcción:
La idea es descrito en user8268 comentario: Dibujar un círculo $\color{lime}{e}$ $\color{blue}{A}$ de intersección $\color{blue}{c}$ ortogonalmente. El punto es que $\color{blue}{c}$ es invariante bajo el círculo de reflexión en $\color{lime}{e}$. El punto de $\color{blue}{A}$ es enviado a infinito y el tratado de círculos que van, por tanto, ser tangentes a $\color{blue}{c}$. Desde los círculos de pasar a través de $\color{blue}{B}$, las tangentes debe pasar a través de la reflexión de la $\color{blue}{B'}$$\color{blue}{B}$$\color{lime}{e}$. Así que aquí está la construcción en breve:
Así que aquí vamos con más detalle:
Dibujar el circulo $\color{lime}{e}$ centro $\color{blue}{A}$ la intersección entre el círculo de $\color{blue}{c}$ ortogonalmente: Primero dibujar el círculo con diámetro de $\color{blue}{AC}$ (círculo de abajo) y se cruzan con $\color{blue}{c}$, a continuación, dibuje el círculo de $\color{lime}{e}$ centro $\color{blue}{A}$ a través de los puntos de intersección. Los radios de $\color{blue}{c}$ $\color{lime}{e}$ se reunirá perpendicularmente en los puntos de intersección de Thales, como $\color{blue}{AC}$ es el diámetro del círculo. 
Reflejar $\color{blue}{B}$ en el círculo de $\color{lime}{e}$ obtener $\color{blue}{B'}$. Tenga en cuenta que $\color{blue}{B'}$ debe estar fuera de $\color{blue}{c}$ $\color{blue}{B}$ se encuentra fuera de $\color{blue}{c}$. Recordar que la construcción de la si $\color{blue}{B}$ se encuentra fuera de $\color{lime}{e}$: el punto de intersección del segmento $\color{blue}{AB}$ con el segmento a través de los puntos de intersección de las $\color{lime}{e}$ con el círculo a través de $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{B}$ alrededor de la mitad de su camino:
Ejercicio: Dar a la construcción de la si $\color{blue}{B}$ se encuentra dentro de $\color{lime}{e}$.
Encontrar los puntos de contacto de $P'$ $Q'$ de las tangentes de$\color{blue}{B'}$$\color{blue}{c}$: Dibujar el circulo $\color{orange}{d}$ con diámetro de $\color{blue}{B'C}$ y llame a $P'$ $Q'$ de los puntos de intersección de $\color{orange}{d}$ $\color{blue}{c}$ (véase el paso 1.): 
Desde la reflexión en $\color{lime}{e}$ swaps $A$ y el infinito y sale del círculo de $\color{blue}{c}$ invariantes, las tangentes de $\color{blue}{B'}$ $\color{blue}{c}$se convertirá en círculos tangentes a $\color{blue}{c}$ sobre la reflexión en $\color{lime}{e}$. Por lo tanto, los puntos de $\color{red}{P}$ $\color{red}{Q}$ son los reflejos de $P'$$Q'$$\color{lime}{e}$. Desde $\color{blue}{c}$ es ortogonal a $\color{lime}{e}$ son simplemente el segundo de los puntos de intersección de las $\color{blue}{c}$ con las líneas de $\color{blue}{A}P'$ $\color{blue}{A}Q'$ (desde las líneas y el círculo de $\color{blue}{c}$ son invariantes bajo la reflexión en $\color{lime}{e}$):
Por último, dibujar los círculos a través de$\color{blue}{A},\color{blue}{B},\color{red}{P}$$\color{blue}{A},\color{blue}{B},\color{red}{Q}$:
voilà!
Ejercicio: Tratar el caso en que ambos puntos de $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{B}$ están dentro del círculo $\color{blue}{c}$.
Sugerencia: Reflejar en el círculo con el centro $\color{blue}{B}$ a través de $\color{blue}{A}$.
Añadido: En retrospectiva, me gusta la segunda solución, el uso de la reflexión en el círculo en torno a $\color{blue}{B}$ a través de $\color{blue}{A}$ mejor que el que me dio, porque funciona en todos los casos que tienen una solución, cualquiera de las $\color{blue}{A}$ $\color{blue}{B}$ tanto en el interior o en el exterior del círculo $\color{blue}{c}$. En algún momento yo podría agregar una explicación detallada de que, como una segunda respuesta.
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