Is

Question

Estoy estudiando $I$-adic terminaciones de un anillo y me preguntaba si el siguiente se sostiene para cualquier anillo comutativo #% ideales y $R$ #%

$I, J \subset R$

No sé si esto es cierto o no, pero no puedo encontrar una prueba ni un contraejemplo de la anterior. ¡Gracias!

Answer 1

Por las propiedades generales de los límites de $\underset{i}\varprojlim \left( \underset{j}\varprojlim R/(I^i + J^j)\right) \cong \underset{(i,j)}\varprojlim R/(I^i+J^j)$

El RHS significa que nos tomamos el límite inversa sobre la categoría de producto $\Bbb N \times \Bbb N$ que todavía está dirigida conjunto con el orden dado por $(i,j) \leq (i',j') \Leftrightarrow i \leq i' \land j \leq j'$

Tenga en cuenta que $(\Bbb N, \leq)$ incrusta en diagonal $\Bbb N \times \Bbb N$ con el orden como se describe aboved. La imagen de que es una (co)inicial de subconjunto (Ver wikipedia y nlab) debido a que para cada elemento $(i,j) \in \Bbb N \times \Bbb N$,$(\min(i,j),\min(i,j)) \leq (i,j)$. Propiedades generales de los límites y final functors (ver los enlaces de nlab página) nos dicen que tenemos

$\underset{(i,j)} \varprojlim R/(I^i+J^j) \cong \underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i)$

Así que estamos a la izquierda para comparar el $\underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i)$ $\underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i$

Tenga en cuenta que $(I+J)^i \supset I^i + J^i$, por lo que tenemos una de las proyecciones de $R/(I^i+J^i) \to R/(I+J)^i$. De este modo obtenemos una compatible con la familia de morfismos dada por las composiciones $\underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i) \to R/(I^i+J^i) \to R/(I+J)^i$ (Se los dejo a cabo la verificación de la compatibilidad) Esto induce a una de morfismos $f:\underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i) \to \underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i$ Por otro lado, tenemos a $(I+J)^{2i} \subset I^i+J^i$, lo que da una proyección $R/(I+J)^{2i} \to R/(I^i+J^i)$ y, a continuación, utilizando el mismo enfoque, el universal, propiedad de el límite da un morphsim $g:\underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i \to \underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i)$

Queda por demostrar que $f$ $g$ son inversos el uno del otro.

Denotar por $\pi_i$ la estructura de morfismos $\underset{i}\varprojlim R/(I^i+J^i) \to R/(I^i+J^i)$ y $\psi_i$ la estructura de morfismos $\underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i \to R/(I+J)^i$ Denotar por $p_i$ la proyección canónica $R/(I^i+J^i) \to R/(I+J)^i$ y $q_i$ la proyección de $R/(I+J)^{2i} \to R/(I^i+J^i)$.

Por construcción $f$ es el único de morfismos tal que $\psi_i \circ f = p_i \circ \pi_i$ todos los $i$. Del mismo modo, conseguimos que los $g$ es el único de morfismos tal que $\pi_i \circ g= q_i \circ \psi_{2i}$ todos los $i$.

Esto implica que para todos los $i$ tenemos $\psi_i \circ f \circ g = p_i \circ \pi_i \circ g= p_i \circ q_i \circ \psi_{2i}$

Pero $p_i \circ q_i: R/(I+J)^{2i} \to R/(I+J)^i$ es sólo el estándar de transición mapa en el inverso de sistema de $(R/(I+J)^{i})_{i \in \Bbb N}$, de modo que tenemos $p_i \circ q_i \circ \psi_{2i}=\psi_i$ por la compatibilidad de la estructura de los mapas de $\psi_i$

Así, tenemos que $\psi_i \circ f \circ g = \psi_i$ todos los $i$. Pero la característica universal de $\underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i$ que se aplica a la estructura de los mapas de $\psi_i$ nos dice que no hay un único morfismos $h:\underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i \to \underset{i}\varprojlim R/(I+J)^i$ satisfacción $\psi_i \circ h=\psi_i$. Evidentemente, la identidad es una de morfismos. Por lo tanto, $f \circ g = \mathrm{id}$

En el otro sentido, tenemos para todos los $i$: $\pi_i \circ g \circ f = q_i \circ \psi_{2i} \circ f = q_i \circ p_{2} \circ \pi_{2i}$.

Tenga en cuenta que $q_i \circ p_{2i}:R/(I^{2i}+J^{2i}) \to R/(I^i+J^i)$ es la canónica surjection de la inclusión $I^{2i}+J^{2i} \subset I^i+J^i$ que es también la transición mapa en el inverso de sistema de $(R/(I^i+J^{i}))_{i \in \Bbb N}$, de manera que obtenemos $q_i \circ p_{2i} \circ \pi_{2i}= \pi_i$ por la compatibilidad de la estructura de los mapas. Por lo $g \circ f$ satisface $\pi_i \circ g \circ f= \pi_i$ todos los $i$. Por lo tanto $g \circ f = \mathrm{id}$ por la misma singularidad argumento como para la otra dirección.