Evaluar $\int \sqrt {3 \tan^2 \theta - 1} d \theta$

Question

Evaluar $I=\int \sqrt {3 \tan^2 \theta - 1} d \theta$

Mi intento $\tan \theta = t, $ entonces $I = \int \frac{\sqrt {3t^2-1}}{1+t^2} dt $

Ahora integrando por partes,

I = $\sqrt {3t^2-1} \tan^{-1} t- \int( \frac{6t}{2\sqrt {(3t^2-1)}} \tan^{-1} t) dt$

Ahora estoy sorprendido... Cómo proceder.

Answer 1

Sugerencias :

$$=\int \frac {(2\tan \theta\sec^2\theta)(\sqrt {3\tan ^2\theta-1})}{(2\tan \theta\sec^2\theta)} d\theta$$

Dejemos que $$\tan^2\theta=\frac {x^2+1}{3}$$ por lo que $$2\tan \theta\sec^2\theta=2x/3$$

Y luego cambiar la integral a $$\sqrt 3\int \frac {x^2}{(x^2+4)\sqrt {x^2+1}}dx= \sqrt 3\int \frac {1}{\sqrt {x^2+1}}dx-4\sqrt 3\int \frac {1}{(x^2+4)\sqrt {x^2+1}}dx$$

Evaluar la primera integral utilizando la sustitución $x=\tan \alpha$ y terminar la segunda con la sustitución $x=\frac 1t$ que además puede evaluarse mediante la sustitución $$t^2+1=u^2$$

Answer 2

El resultado de @Manthanein se puede obtener sin mucha dificultad.

La integral también puede escribirse como $$\int \sqrt{3\sec^2 \theta -4} \, \mathrm d\theta$$

Ahora, sustituye $$\begin{align}3\sec^2 \theta -4 &=x^2\\ \implies 3\sec^2 \theta \tan \theta \, \mathrm d\theta &= x \, \mathrm dx \\ \implies (x^2+4)\sqrt{\dfrac{x^2+1}3}\,\mathrm d\theta &=x\,\mathrm dx \\ \implies \mathrm d\theta &=\dfrac{\sqrt 3 x\,\mathrm dx}{(x^2+4)\sqrt{x^2+1}}\end{align}$$

Por lo tanto, la integral se convierte ahora en $$\int\dfrac{\sqrt3 x^2 \mathrm dx}{(x^2+4)\sqrt{x^2+1}}$$

y el resto sigue.