Grupo Absolute Galois de$\Bbb Q_p$ variando$p$

Question

$\newcommand{\Q}{\Bbb P} \newcommand{\N}{\Bbb, N} \newcommand{\R}{\Bbb R} \newcommand{\Z}{\Bbb Z} \newcommand{\C}{\Bbb C} \newcommand{\A}{\Bbb} \newcommand{\ab}{\mathrm{ab}} \newcommand{\Gal}{\mathrm{Ga}} \newcommand{\prolim}{\varprojlim} $ Deje $p, q$ ser de dos números primos.

Son los grupos de $\Gal(\overline{\Q_p} / \Q_p)$ $\Gal(\overline{\Q_q} / \Q_q)$ isomorfo (como resumen de grupos)? Son isomorfos como topológica grupos?

Pensamientos:

1) El absoluto grupo de Galois de un campo de número de $K / \Q$ determina el número de campo, por Neukirch–Uchida teorema. Pero esto no se aplica a los campos locales.

2) en Esta referencia se explica que el absoluto grupo de Galois de una $p$-ádico número de campo (con $p$ fijo) sólo determina el campo hasta elementarily de equivalencia. Pero aquí estoy pidiendo varios $p$.

3) yo creo que estos dos profinite grupos homeomórficos, por el teorema de Brouwer (todos los no-vacío segunda contables totalmente desconectado compacto Hausdorff topológica del espacio sin puntos aislados es homeomórficos para el Cantor medio-tercer set). Pero estoy preguntando sobre (topológico) grupo isomorphisms.

Gracias!

Answer 1

Watson, la respuesta a tu pregunta es que esos grupos son nonisomorphic como topológicos, grupos, y por ser un poco más cuidadosos que son nonisomorphic como resumen de los grupos también. Vamos a pasar a la abelianization de ${\rm Gal}(\overline{\mathbf Q_p}/\mathbf Q_p)$,${\rm Gal}(\mathbf Q_p^{\rm ab}/\mathbf Q_p)$, y muestran que este grupo sabe lo $p$ es. Primero vamos a comprobar que la abelianization de ${\rm Gal}(\overline{\mathbf Q_p}/\mathbf Q_p)$ es puramente algebraica construir.

Para un grupo topológico, su abelianization es el cociente por su colector subgrupo, al igual que para abstracto grupos, pero hay un problema: la definición del colector de un subgrupo de un grupo topológico es el cierre de la normal de conmutacion de los subgrupos (ver el grupo como un resumen de grupo). Afortunadamente, resulta que en el caso de $\mathbf Q_p$, o finita, extensiones de $\mathbf Q_p$, el ordinario del conmutador subgrupo de la absoluta Galois grupo está cerrado. Esto es debido a los siguientes dos hechos.

1. Jannsen y Wingberg demostrado que el absoluto grupo de Galois de una extensión finita $K/\mathbf Q_p$$p \not= 2$, es topológicamente finitely generado (de hecho finitely presentado): esto es, en un par de artículos en Inventiones vol. 70 (1982/83). Diekert resolvió el caso $p=2$ poco después. Diekert da una explícita finito presentación al $\sqrt{-1} \in K$ $2$- ádico de campo $K$, pero si $\sqrt{-1} \not\in K$, a continuación, mediante la aplicación de Diekert del resultado a $K(\sqrt{-1})$, un subgrupo de índice $2$ ${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ es topológicamente finitely generado (de hecho topológicamente finitely presentado) lo ${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ es topológicamente finitely generado con uno más del generador.

2. Novikov y Segal (https://arxiv.org/abs/math/0604399) mostró que por cada topológicamente finitely generado profinite su grupo, subgrupo conmutador como un resumen de grupo es cerrado. (Serre había probado antes, cuando el grupo es un topológicamente finitely generado pro-$p$ grupo.)

Poniendo a estos en conjunto, el abelianization de ${\rm Gal}(\overline{\mathbf Q_p}/\mathbf Q_p)$ como un resumen de grupo es la misma que la de su abelianization como un grupo topológico, que es ${\rm Gal}(\mathbf Q_p^{\rm ab}/\mathbf Q_p)$. Local de campo de clase de teoría nos dice que el grupo ${\rm Gal}(\mathbf Q_p^{\rm ab}/\mathbf Q_p)$ es isomorfo a $\widehat{\mathbf Z} \times \mathbf Z_p^\times$ topológicos, grupos, y, por tanto, como resumen de los grupos. Te mostramos el resumen de grupo $\widehat{\mathbf Z} \times \mathbf Z_p^\times$ sabe lo $p$ es.

Set $G = \widehat{\mathbf Z} \times \mathbf Z_p^\times$, por lo que el subgrupo de torsión $G_{\rm tor}$$(\mathbf Z_p^\times)_{\rm tor}$, que es un subgrupo finito de $\mathbf Z_p^\times$: $G/G_{\rm tor} \cong \widehat{\mathbf Z} \times (\mathbf Z_p^\times)/(\mathbf Z_p^\times)_{\rm tor}$. El grupo $\mathbf Z_p^\times$ es un grupo topológico, si quieres pensar que es así o no. El uso de la $p$-ádico logaritmo, tenemos $\mathbf Z_p^\times/(\mathbf Z_p^\times)_{\rm tor} \cong \mathbf Z_p$ topológicos, grupos, y por lo tanto también como resumen de los grupos. Por lo tanto $$G/G_{\rm tor} \cong \widehat{\mathbf Z} \times \mathbf Z_p \cong \left(\prod_{\ell} \mathbf Z_\ell\right) \times \mathbf Z_p \cong \prod_{\ell \no= p} \mathbf Z_\ell \times \mathbf Z_p^2$$ como resumen de los grupos. Para mostrar el resumen de grupo $\widetilde{G} := G/G_{\rm tor}$ conoce $p$, se observa que para un número primo $\ell$, $\widetilde{G}/\ell\widetilde{G}$ es isomorfo a $\mathbf Z/\ell\mathbf Z$ si $\ell \not= p$ e es isomorfo a $(\mathbf Z/p\mathbf Z)^2$ si $\ell = p$, lo $|\widetilde{G}/\ell\widetilde{G}| \not= \ell$$\ell = p$. Por lo tanto $G$, como un resumen de grupo, sabe lo $p$ es.

Lo siguiente que probablemente le pida, para $K$ de un número finito de extensión de $\mathbf Q_p$ $L$ de un número finito de extensión de $\mathbf Q_q$ donde $p$ $q$ son diferentes de los números primos, podría ${\rm Gal}(\overline{K}/K)$ ser isomorfo a ${\rm Gal}(\overline{L}/L)$ como resumen de los grupos? Si lo fueran, entonces otra vez, podríamos pasar a la abelianizations (resumen y topológico abelianizations son la misma cosa, por los dos teoremas en el inicio) y local de campo de clase de teoría, entonces, implica la $\widehat{\mathbf Z} \times \mathcal O_K^\times \cong \widehat{\mathbf Z} \times \mathcal O_L^\times$ como resumen de los grupos. Queremos mostrar el resumen de grupo $G := \widehat{\mathbf Z} \times \mathcal O_K^\times$ sabe lo $p$ es, donde $K$ es una extensión finita de $\mathbf Q_p$.

La solución que se utiliza cuando se $K = \mathbf Q_p$ puede ser al $K$ es sólo un número finito de extensión de $\mathbf Q_p$, con algunos detalles necesarios. La torsión de los subgrupos $G_{\rm tor}$ es igual a $(\mathcal O_K^\times)_{\rm tor}$ $G/G_{\rm tor} \cong \widehat{\mathbf Z} \times (\mathcal O_K^\times)/(\mathcal O_K^\times)_{\rm tor}$ como resumen de los grupos. El uso de la $p$-ádico logaritmo (extendido de $1 + \mathfrak m_K$ $\mathcal O_K^\times$por el asesinato del primer a $p$ raíces de la unidad), $(\mathcal O_K^\times)/(\mathcal O_K^\times)_{\rm tor}$ es isomorfo a un subgrupo de $\mathcal O_K$ como grupos topológicos. Desde $\mathcal O_K \cong \mathbf Z_p^n$ topológicos, grupos, donde $n = [K:\mathbf Q_p]$, su apertura a los subgrupos son isomorfos a $\mathbf Z_p^n$. Por lo tanto $G/G_{\rm tor} \cong \widehat{\mathbf Z} \times \mathbf Z_p^n$ topológicos, grupos, y por lo tanto también como resumen de los grupos. (Yo soy el uso de la topología simplemente como una herramienta para comprender la estructura de $G/G_{\rm tor}$ como un resumen de grupo). Establecimiento $\widetilde{G} := G/G_{\rm tor}$, para cada número primo $\ell$ tenemos $\widetilde{G}/\ell\widetilde{G} \cong \mathbf Z/\ell\mathbf Z$ si $\ell \not= p$$\widetilde{G}/p\widetilde{G} \cong (\mathbf Z/p\mathbf Z)^{n+1}$,$n+1 \geq 2$, así como los de antes, $|\widetilde{G}/\ell\widetilde{G}| \not= \ell$$\ell = p$. Por lo tanto el resumen del grupo de $\widehat{\mathbf Z} \times \mathcal O_K^\times$ donde $K$ es una extensión finita de $\mathbf Q_p$, sabe lo $p$ es.

Answer 2

Cohomological métodos (como en el libro de Neukirch-Schmidt-Wingberg) dar la mayor parte de la prueba directa de que los dos grupos no pueden ser isomorfos como profinite grupos. Para mayor comodidad, que nos llame a $K$ local $p$-ádico de campo si $K$ es una extensión finita de $\mathbf Q_p$, dicen de grado $N$, y denotan su absoluta Galois grupo por $G_K$. Deje $\delta =1$ si $K$ contiene una primitiva $p$-ésima raíz de la unidad, $0$ lo contrario. Entonces para cualquier prime $l, dim_{\mathbf F_l} H^1(G_K,\mathbf Z/l\mathbf Z)=1+N+\delta$ si $l=p,1+\delta$ lo contrario, que ya muestra lo que queremos.

Otra de las razones (además de un cohomological la naturaleza) se encuentra en la estructura de la máxima pro-$p$-cociente de $G_K$, que es pro-$p$libre de en $N+1$ generadores de si $\delta=0$ (Chafarevitch), mínimamente generado por $N+2$ generadores y $1$ explícito relación si $\delta=1$ (Demushkin para $p$ impar, Labute para $p=2$).

En realidad, casi una descripción completa de $G_K$ por generadores y relaciones es conocido : $G_K$ puede ser generado por $N+3$ generadores $\sigma, \tau, x_0 ,..., x_N$ en la satisfacción de un "domar" relación $\sigma \tau \sigma^{-1}= \tau^q$ donde $q$ es el cardenal de la residual campo de $K$, así como una explícita "salvaje" relación cuya expresión depende de la paridad de $N$ (Jannsen-Wingberg para $p$ impar, Diekert para $p=2$ $K(\zeta_4)/K$ unramified). Curiosamente, el caso restante es aún desconocido. Todos estos resultados , y muchas más se pueden encontrar en el capítulo VII, §5, op. cit.