Encuentra$\operatorname{Tr}(A^{2018})$ si$\det(A^2-2018I_2)=0$

Question

Encuentra$\operatorname{Tr}(A^{2018})$ si$\det(A^2-2018I_2)=0, A\in M_2(\mathbb{Q})$

Mi intento:

Deje$A^2=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ luego$B=A^2-2018I_2=\begin{bmatrix}a-2018&b\\c&d-2018\end{bmatrix}$

entonces$\det(B)=(a-2018)(d-2018)-bc$ entonces tenemos:$a = 2018$ o$d=2018$ AND$b=0$ o$c=0$. Y tomé el posible candidato para$A^2$ cuando todos estos ocurren al mismo tiempo, así que:$a=2018,d=2018,b=0,c=0\implies \operatorname{Tr}(A^{2018})=2\times2018^{1009}$ por inducción.

¿Hice todo bien? Siento que mi solución no es realmente tan buena.

¿También me puedes dar algunos consejos que me pueden ayudar en este tipo de situaciones con problemas como este?

Answer 1

Deje $$ A = \begin{bmatrix} \sqrt{2018}&0\\0&a\end {bmatrix}. $$ Entonces, $$ \ det (A ^ 2-2018I_2) = 0 $$ y $$ A ^ {2018} = \begin{bmatrix}2018^{1009}&0\\0&a^{2018}\end {bmatrix} , $$ que no tiene una traza independiente de$a$. Entonces, ¿hay alguna información adicional que tenga sobre$A$?

Answer 2

$\det(A^2-2018I_2)=0$ implica que el $2018$ es un autovalor de a $A^2$.

El mapeo espectral teorema da ese $\sigma(A^2) = \sigma(A)^2$, por lo que al menos uno de $\sqrt{2018}$ $-\sqrt{2018}$ $\sigma(A).$

Ahora, debido a $A \in M_2(\mathbb{Q})$, su polinomio característico $p_A$ ha racional de los coeficientes y de $\deg p_A = 2$.

Sabemos que uno de $\pm\sqrt{2018}$ es una raíz de $p_A$, y el polinomio mínimo de a$\pm\sqrt{2018}$$\mathbb{Q}$$x^2 - 2018$. Por lo tanto $x^2 - 2018$ divide $p_A$ $p_A$ es monic así llegamos a la conclusión de $p_A(x) = x^2 - 2018$.

Por lo tanto $\sigma(A) = \{-\sqrt{2018}, \sqrt{2018}\}$. El mapeo espectral teorema de nuevo da

$$\sigma(A^{2018}) = \sigma(A)^{2018} = \{(-\sqrt{2018})^{2018}, \sqrt{2018}^{2018}\} = \{2018^{1009}\}$$

La traza es la suma de los autovalores de manera

$$\operatorname{Tr} A^{2018} = 2\cdot 2018^{1009}$$