Qué es el derivado de $n^\text{th}$ $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$

Question

Quiero que la expansión de la serie de taylor alrededor de algún valor $a$ de la función $f(x)=\frac{1}{1+x^2}$. Utilicé la fórmula general\begin{eqnarray} f(x) = f(a) + \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{eqnarray} pero por desgracia, yo no puedo calcular cualquier fórmula general $f^{(n)}(a)$. El primer derivado es $$ f^{(1)}(x)= -\frac{2x}{(1+x^2)^2}.$$The segundo derivado es $$ f^{(2)}(x)= \frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}.$$The tercer derivado es $$ f^{(3)}(x)= \frac{24x(x^2-1)}{(1+x^2)^4}.$$The cuarta derivada es $$ f^{(4)}(x)= -\frac{24(5x^4-10x^2+12)}{(1+x^2)^5}$ $. El quinto derivado es $$ f^{(5)}(x)= \frac{240x(3x^4-10x^2+3)}{(1+x^2)^5}$ $.

¿Qué es el derivado de $n$-ésima de la función para trabajar con la anterior serie de taylor que quiero utilizar para probar algo?

Answer 1

$$2f(x)=\frac1{1+ix}+\frac1{1-ix}.$ $ Por lo tanto$$2f^{(n)}(x)=\frac{(-i)^nn!}{(1+ix)^{n+1}}+\frac{i^nn!}{(1-ix)^{n+1}}.$ $

Answer 2

Otra forma de$n$ - th derivado:$$f^{(n)}(x)=(-1)^n n!\frac{\sin((n+1)\cot^{-1} x)}{(1+x^2)^{(n+1)/2}}.$ $ Es fácil de probar por inducción.