Dejemos que $n \in \mathbb{N}$ y que
$$ n = p_1^{a_1} \cdots p_r^{a_r} $$
sea su factorización en primos. Mi intención es contar cuántos grupos abelianos $G$ de orden $n$ están ahí. Lo que sigue son mis pensamientos sobre esta cuestión, que seguramente son bastante rudimentarios.
Por el teorema de la estructura, tenemos que: $$ G \simeq \bigoplus_{i = 1}^r \bigoplus_{j = 1}^{m_i} \mathbb{Z}/(p_i^{s_{i,j}}) $$
con $s_{i,1} \leq \dots \leq s_{i,m_i}$ para cada $i$ y por lo tanto, los cardinales de estos dos grupos deben coincidir:
$$ n = \prod_{i = 1}^r \prod_{j = 1}^{m_i} p_i^{s_{i,j}} = \prod_{i = 1}^r p_i^{\sum_{j = 1}^{m_i}s_{i,j}} $$
Por lo tanto, por la unicidad de la factorización de los primos,
$$ s_{i,1} + \dots + s_{i,m_i} = a_i \quad (\forall i\in [r]) $$
La cuestión se convierte entonces en combinatoria, es decir, cuántas combinaciones de enteros no negativos y no decrecientes hay tales que:
$$ s_{i,1} + \dots + s_{i,m_i} = a_i \quad (\forall i\in [r]) $$
Como el problema es independiente para cada primo, podemos abordar cada uno de ellos de forma independiente. Además, podemos contar la cantidad de tuplas de números no negativos $(s_1, \dots, s_{a_i})$ en orden creciente tal que $\sum_{j = 1}^{a_i}s_j = a_i$ es decir, podemos fijar un tamaño para la cantidad de números, ya que el caso más pequeño posible es tener exactamente $a_i$ los. Una vez hecho esto, tenemos tantas combinaciones como el $a_i$ -coeficiente de la siguiente función generadora
$$ f_i = \prod_{j = 1}^{a_i}(1-X^j)^{-1} = \left(\sum_{k \geq 0}X^k\right) \dots \left(\sum_{k \geq 0}X^{ka_i}\right) $$
mediante las soluciones correspondientes a $x_1 + 2x_2 + \dots + a_ix_{a_i} = a_i$ con tuplas tomando:
$$ s_{a_i-q} = \sum_{k = q}^{a_i}x_k $$
es decir, tendríamos $[f_i]_{a_i}$ posibles soluciones, dando un total de
$$ [f_1]_{a_1} \cdots [f_r]_{a_r} $$
posibles grupos abelianos de orden $n$ .
Te agradecería mucho que comentaras si este planteamiento es correcto o no y, en caso afirmativo, cómo se podría obtener una respuesta más explícita, ya que ésta es bastante insatisfactoria.
