Armónicos esféricos para dummies

Question

Añadiendo a la para tontos .

Los armónicos esféricos reales son funciones de base ortonormal en la superficie de una esfera.

Me gustaría entender bien esa frase y lo que significa.

Todavía se está lidiando con

• Funciones de base ortonormal (creo que esto es como las funciones de base de la Transformada de Fourier son senos y cosenos, y el seno es ortogonal al cos, y así los componentes pueden tener un producto interno cero..)
• " son funciones de base ortonormal en la superficie de una esfera ".
  • ¿Qué esfera? ? ¿De dónde sale la esfera? ¿Quiere decir que para cada posición en la esfera tenemos un valor? ¿Se aprovecha la periodicidad en el espacio de la esfera? ¿Es así como obtenemos los términos de orden superior?

Answer 1

Creo que el punto que me estaba confundiendo/perdiendo de vista era que las funciones armónicas esféricas son la solución de la ecuación diferencial de Laplace:

$$\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}=0$$

Ortogonal significa que las funciones "tiran en direcciones diferentes". Al igual que en el álgebra lineal, los vectores ortogonales "tiran" en direcciones completamente "distintas" en el espacio n, resulta que las funciones ortogonales "ayudan a alcanzar valores completamente distintos", donde el valor resultante (suma de funciones) es de nuevo una función.

SH son basado en en el polinomios de Legendre asociados (que son un poco más funky que Polinomios de Legendre es decir, cada banda tiene definidas más funciones distintas para las asociadas).

Los polinomios de Legendre, al igual que SH, son funciones ortogonales. Así que si tomas 2 funciones cualesquiera del conjunto de polinomios de Legendre, van a ser ortogonales entre sí (integral en $[-1,1]$ es $0$ ), y si se añaden copias a escala de uno a otro, se podrá llegar a un conjunto totalmente distinto de funciones/valores que con una sola de esas funciones base.

Ahora el esfera proviene de la idea de que, las funciones de SH, utilice los polinomios de Legendre (pero los polinomios de Legendre son funciones 1D), y los especificación de los armónicos esféricos es un valor de la función para cada $\phi \theta$ . No hay una "esfera" en sí misma es como si dijeras "hay un valor para cada punto del círculo unitario", significa que trazas un círculo alrededor del origen y le das un valor a cada punto.

Lo que se quiere decir es cada punto de una esfera unitaria tiene un valor numérico . Si asociamos un color a cada punto de la esfera, se obtiene una visualización como ésta:

Esta página muestra una visualización donde los valores de la función SH se utilizan para MORFAR LA ESFERA (que es parte de lo que me confundía antes). Pero sólo porque una función tiene valores para cada punto de la esfera no significa hay una esfera .

Answer 2

$\theta$ y $\phi$ las coordenadas de una superficie esférica. Son similares a la latitud ( $\theta$ ) y la longitud ( $\phi$ ) excepto que $\theta$ va de $0$ a $\pi$ y $\phi$ va de $0$ a $2\pi$ . Cada armónico tiene un valor en cada punto, por ejemplo $Y_1^{-1}(\theta,\phi)=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{3}{2\pi}}\sin(\theta)e^{-i\phi}$ . Dadas las coordenadas puedes calcular el valor. La ortogonalidad se debe a que si se integra el producto de dos armónicos diferentes cualquiera sobre la superficie de la esfera, se obtiene $0$ .