En el libro de Análisis sobre los Colectores por Munkres, en la página 151, pregunta 3, se le pide que
Deje $U$ ser el conjunto abierto en $\mathbb{R}^2$ que consta de todos los $x$$\|x\|<1$. Vamos $$ f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2} $$ para $(x,y) \ne 0$. Determinar si $f$ es integrable sobre$U\setminus 0$$\mathbb{R}^2\setminus \overline{U}$; si es así, evaluar.
Me han dado las siguientes respuestas, pero, como puede ver a continuación, en ambos casos he encontrado que la integral no existe, así que está todo correcto en mis respuestas, porque el autor dice que "si es así evaluar", lo que significa que, en general, al menos uno de la integral existe y vamos a evaluar :).
Mis respuestas:
Deje $g(r,\theta) = (r \cos\theta, r \sin \theta),$ donde $g: (0,1)\times (0,2\pi) \to U - \{(x,y) \in \mathbb{R}^x | y = 0, x \geq 0\}.$ Tenga en cuenta que los excluidos set $\{(x,y) \in \mathbb{R}^x | y = 0, x \geq 0\}$ es de medida cero, por lo tanto no contribuye a la integral que vamos a evaluar.
Para $U - \vec 0,$ deje $C_n = [1/n, 1-1/n] \times [1/n, 2\pi - 1/n]$ ser subsanables en conjunto en $(0,1)\times (0,2\pi)$ s.t $C_n \subset Int (C_{n+1}) $ y su unión es $(0,1)\times (0,2\pi)$. Puesto que para cada una de las $n \geq 2$, este conjunto es un subsanables conjunto s.t $n+1$-th contiene $n$-th uno y la unión de estos conjuntos forman una cubierta para $(0,1)\times (0,2\pi)$, podemos evaluar la integral impropia de cualquier función por encima de la $(0,1)\times (0,2\pi)$ por primera integración en $C_n$, y luego tomar el límite de $n \to \infty$.
Ahora, por el teorema de Fubini, tenemos $$\int_{1/n}^{2\pi - 1/n} \int_{1/n}^{1-1/n} \frac{1}{r^2} * |r| = ln(\frac{1 - 1/n}{1/n} ) * (2\pi - 2/n),$$ pero esta función golpes como $n\to \infty$, por lo tanto no es acotado, por lo tanto la integral impropia no existe.
Para $\mathbb{R}^n - \bar U$, que forman la partición $$[1+ 1/n, n] \times [1/n, 2\pi - 1/n],$$ para $n\geq 2$, y aplicar el mismo razonamiento, y obtener $$ln(\frac{n}{1 + 1/n} ) * (2\pi - 2/n),$$ pero esto también golpes como $n \to \infty$, por lo tanto no es acotado, por lo tanto la integral no existe.
Pregunta:
¿Hay algo malo con las respuestas dadas anteriormente ? ¿Hay alguna falla ?
