Algoritmo para encontrar el complemento ortogonal en espacios de producto interno

Question

¿Existe un procedimiento general para calcular una base para el complemento ortogonal de un subespacio dado (con una base dada)? Para $\mathbb R^n$ esto equivale a encontrar el núcleo de una matriz con los vectores de la base como filas, pero esto es solo debido a la definición del producto interno estándar.

¿Qué pasa con el caso general?

Answer 1

Encuentra una base para el subespacio. Amplía a una base de todo el espacio vectorial. Ortogonaliza toda la base usando Gram-Schmidt, con la base del subespacio primero; esto te dará una base ortogonal del subespacio, y los vectores restantes formarán una base para el complemento ortogonal.

Answer 2

Si el subespacio con base conocida tiene una dimensión $k$ y el espacio completo es $\mathbb{R}^n$, tome un conjunto de $n-k$ vectores aleatorios $v_k$. Reste la proyección sobre la base para cada vector aleatorio $v_k$ y cada vector de base $i$, $$v_k = v_k - P_i(v_k)$$ Ahora tendrá una base para el subespacio complementario: $\{v_1,\cdots,v_{n-k}\}$.

Construya su proyección de la siguiente manera:

$$P = SDS^{\dagger}$$ con $D$ diagonal y $D_{jj} = \delta_{(j\leq k)}$, y las primeras $k$ columnas de $S$ como vectores de base y el resto ceros, $S^\dagger$ denota la pseudoinversa.

Además, inserte los $v_k$ como columnas en $V$. Ahora simplemente haga $(I-P)V$ y tendrá una base del espacio complementario como las columnas de este producto.

Answer 3

Echa un vistazo más de cerca a lo que estás haciendo cuando utilizas el algoritmo que describes para calcular un complemento ortogonal relativo al producto escalar euclidiano $\langle\cdot,\cdot\rangle$: estás resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales $$\begin{align} \langle\mathbf w_0,\mathbf x\rangle &= 0 \\ \langle\mathbf w_1,\mathbf x\rangle &= 0 \\ \vdots \\ \langle\mathbf w_m,\mathbf x\rangle &= 0 \\ \end{align}$$ donde los $\mathbf w_k$ son una base para el subespacio. Esto se puede escribir como la única ecuación $W^T\mathbf x=0$, donde $W$ es la matriz con estos vectores base como sus columnas. Resolver esto equivale a encontrar el núcleo de $W^T$, como dijiste.

Para un producto interno arbitrario $(\cdot,\cdot)$ sobre $\mathbb R^n$, puedes establecer un sistema similar de ecuaciones lineales y resolverlo para encontrar el complemento ortogonal relativo a ese producto interno. Para expresar este sistema en forma de matriz, aprovechamos el hecho de que cualquier producto interno sobre $\mathbb R^n$ puede expresarse en términos del producto escalar euclidiano como $(\mathbf u,\mathbf v)=\langle\mathbf u,A\mathbf v\rangle$, donde $A$ es una matriz simétrica definida positiva fija. Esta matriz está dada por $A_{ij}=(\mathbf e_i,\mathbf e_j)$, donde los $\mathbf e_k$ son los vectores de la base estándar. Con esta matriz en mano, el sistema de ecuaciones puede escribirse como $W^TA\mathbf x=0$, por lo que encontrar el complemento ortogonal del subespacio es cuestión de calcular el núcleo de $W^TA$.

El proceso para $\mathbb C^n$ es similar, excepto que la matriz del producto interno será hermitiana y necesitarás usar transpuestos conjugados.