Converse de Schur ' s lema en espacios dimensionales finitos del vector

Question

Estoy tratando de demostrar (o refutar) la inversa de Schur del Lexema en lo finito dimensional espacios vectoriales. No estoy seguro de si se mantiene en este caso, pero he tratado de aplicar la idea de que lo demuestra en la teoría de la representación (véase, por ejemplo, el Teorema 4.3 aquí que utiliza el teorema de Maschke o en las preguntas aquí y aquí).

A la inversa de Schur del Lexema en lo finito dimensional espacios vectoriales es:

Deje $V$ ser finito dimensional espacio vectorial sobre los números complejos. Deje $S$ ser un conjunto de endomorphisms de $V$ y asumir que cada endomorfismo $A$ $V$ tal que $$AB=BA\text{ for all }B\in S$$ is of the form $\lambda I, \ \lambda\in\mathbb{C}$. Then $V$ is a simple $S$-espacio.

(*un endomorfismo de $V$ es un operador lineal de $V$ $V$

*$V$ es un simple $S$-espacio si la única $S$-subespacios invariantes de $V$ $V$ sí y el subespacio cero)

Lo que yo he probado hasta ahora:

Suponemos que, al contrario, $V$ no es un simple $S-$espacio. Entonces, existe un subespacio $W$ $V$ tal que $W\not =\{0\}$, $W\not= V$ y $W$ $S$- invariante. Deje $W'=V\setminus W$. Entonces, desde el $V$ es finito, se puede demostrar fácilmente que $V=W\oplus W'$ (este es mi intento de traducir el teorema de Maschke en espacios vectoriales). En consecuencia, para cada $v\in V$, existe únicas $w\in W$$w'\in W'$, de tal manera que $v=w+w'$. Definir la proyección de $P:V\rightarrow V$ $Pv=w$ por cada $v\in V$.

¿Qué queda por probar es que el $PB=BP$ todos los $B\in S$. A continuación, $P$ está claro que no es un escalar y por lo tanto la contradicción que estamos buscando.

Hay una dificultad en demostrar que las $PB=BP$ todos los $B\in S$, debido a $W'$ podría ser $S$-invariante o no. Más precisamente:

Deje $v\in V=W\oplus W'$$v\not =0_V$.

Si $v\in W$ $Bv\in W$ porque $W$ $S$- invariante, por lo tanto:$PBv=Bv$$BPv=Bv$.

Si $v\in W'$$Pv=0$, por lo tanto $BPv=B\cdot 0=0$, y

(i) si $Bv\in W'$$PBv=0$.

(ii) si $Bv\in W$ $PBv=Bv$ y aquí es donde se produce el problema.

Todas las sugerencias, ideas o contraejemplos sería muy útil.

Actualización: hay un contraejemplo de un espacio vectorial $V$ de manera tal que cada endomorpshism de $V$ que conmutan con todos los elementos de a $S$ es un escalar, sino $V$ no $S$-simple? (es decir, sin utilizar contraposición)

Answer 1

He aquí un contraejemplo: vamos a $S = \{A \in \Bbb C^{2 \times 2} : Ax = x\}$ donde $x = (1,0)$ (la columna de vectores $(1,0)$). Es decir, $S$ es el conjunto de todas las matrices cuya primera columna es $(1,0)$.

Ahora, el intervalo de $(1,0)$ $S$- subespacio invariante.

Sin embargo, considere la posibilidad de cualquier $A$ que no es un múltiplo de la identidad. Si $A$ es diagonalizable, entonces tiene vectores propios $y_1,y_2$$Ay_i = \lambda_i y_i$. Uno de estos vectores propios linealmente independientes de a $x$, supongamos WLOG que $y_1$ $x$ son linealmente independientes. Podemos entonces definir $B$ por $$ Bx = x\\ By_1 = y_1 + y_2 $$ nos encontramos con que $ABy_1 \neq BAy_1$, por lo que el $AB \neq BA$.

Ahora, supongamos que el $A$ no es diagonalizable. De ello se desprende que $A$ no es diagonal. Así, no conmuta con $$ B = \pmatrix{1&0\\0&2} $$ Por lo tanto, $S$ es un contraejemplo a su reclamo.