Operador autoadjunto como diferencia de dos operadores positivos

Question

El problema viene de mis deberes de análisis funcional.

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert complejo y $A:H \to H$ sea un operador lineal acotado y autoadjunto. Demostrar que existen operadores positivos $P$ y $N$ tal que $A=P-N$ y $PN=0$ . (Un operador $T$ es positivo si $\langle Tx,x \rangle \ge 0$ para todos $x \in H$ .)

He encontrado una pregunta similar a esta: El operador autoconjunto limitado puede escribirse como diferencia de operadores positivos . Una respuesta utilizando $C^*$ -Álgebra se proporcionó allí. Sin embargo, no aprendimos nada sobre $C^*$ -álgebra en esta clase (y no sé nada de ella), así que se supone que el problema debe demostrarse de forma "elemental". Esto es lo que he hecho hasta ahora:

Defina $B=(A^2)^{1/2}$ y que $$P=(A+B)/2$$ $$N=(B-A)/2$$ Entonces $P$ y $N$ son operadores lineales acotados y autoadjuntos. Es fácil comprobar que $$A=P-N$$ y $$PN=0$$ Mi pregunta: ¿cómo podemos demostrar que $P$ y $N$ son positivos?

Por cálculo directo, esto equivale a $|\langle Ax,x \rangle| \le \langle Bx,x \rangle$ . @Shalop dijo en el comentarios que esta desigualdad se puede demostrar con la identidad de polarización, pero no veo cómo hacerlo. ¿Alguna idea?

Answer 1

Si $A,B$ son operadores positivos y conmutativos, entonces $AB$ es positivo. Esto se debe a que el único $\sqrt{A}$ también debe conmutar con $B$ y, por lo tanto, $$ \langle ABx,x\rangle = \langle \sqrt{A}Bx,\sqrt{A}x\rangle = \langle B\sqrt{A}x,\sqrt{A}x\rangle \ge 0. $$ Este resultado es útil en lo que sigue.

Supongamos que $A$ es independiente. Sea $P=\frac{1}{2}(|A|+A)$ y $N=\frac{1}{2}(|A|-A)$ donde $|A|$ es la única raíz cuadrada positiva de $A^2$ . Entonces $PN=NP=0$ y $A=P-N$ . Esta es la descomposición deseada de $A$ y el truco consiste en demostrar que $P,N$ son operadores positivos.

Sea $E$ sea la proyección ortogonal sobre $\mathcal{N}(|A|+A)$ . Entonces $(|A|+A)E=0$ da $E(|A|+A)=0$ tomando colindantes. Y $(|A|+A)(|A|-A)=0$ da $E(|A|-A)=|A|-A$ . Por lo tanto, $$ 2EA=E(|A|+A)-E(|A|-A) = A-|A| \\ |A| = (I-2E)A \\ 2E|A| = E(|A|+A)+E(|A|-A)=|A|-A \\ A = (I-2E)|A|. $$ Estas dos ecuaciones son coherentes porque $(I-2E)^2=I-4E+4E=I$ establece $I-2E$ como su propia inversa. Tomando los adyacentes de las ecuaciones anteriores se obtiene que $E$ conmuta con $A$ y con $|A|$ que es útil en lo que sigue. Ahora los operadores $P$ y $N$ puede escribirse como $$ P=\frac{1}{2}(|A|+A)=\frac{1}{2}(|A|+(I-2E)|A|)=(I-E)|A|, \\ N=\frac{1}{2}(|A|-A)=\frac{1}{2}(|A|-(I-2E)|A|)=E|A| $$ Porque $E$ conmuta con $A$ entonces $E$ también debe conmutar con $A^2$ y, por tanto, también con $|A|=(A^2)^{1/2}$ . Por el resultado del primer párrafo, $P=(I-E)|A|$ y $N=E|A|$ son positivos.

Answer 2

Si $A=\int_{-\infty} ^\infty x dE_x$ Toma $P= \int_0 ^\infty x dE_x$ y $N=\int_{-\infty} ^0 \vert x\vert dE_x =-\int_{-\infty} ^0 x dE_x $ .