Probar una desigualdad sobre $\arctan 1/(nx)$ para cualquier $x$ y $n$

Question

¿Cómo probar esta desigualdad para cualquier $x$ y $n$?

$$ \left|\arctan\frac 1 {nx} \right| \leq \frac 1 {nx}; \, 0

¿Esto limita? Pero ¿que me puede ayudar en que? Quiero decir que no sé el intervalo de fronteridad...

¿Por favor dígame cómo probar esta desigualdad?

Answer 1

Déjenos mirar $\arctan t$, decir $t \ge 0$. Nos gustaría ver que $\arctan t\le t$.

El acercamiento estándar es dejar $f(t)=t-\arctan t$ y tenga en cuenta que % $ $$f'(t)=1-\frac{1}{1+t^2} \ge 0.$