la convergencia uniforme de la secuencia de funciones

Question

Deje $f_1:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ ser una de Riemann integrable función. Definir la secuencia de las funciones de $f_n:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ por

$f_{n+1}(x)=\int_a^x f_n(t)dt,$

para cada una de las $n\ge 1$ y cada una de las $x\in [a,b]$. Demostrar que la secuencia de funciones

$g_n(x)=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$

converge uniformemente en [a,b].

Intento usar el Teorema de Ascoli para demostrar este problema considerando $|g_n(x)-gn(y)|\le\sum\limits_{k=1}^n |f_k(x)-f_k(y)|$. Sin embargo, $|f_k(x)-f_k(y)|\le M |b-a|^{k-2} |x-y|, $ donde $M>0$ es una constante de lograr la condición de que $f_1$ es una función integrable. Sin embargo, esta estimación depende de $k$, por lo que no puedo aplicar Ascoli-Azela Teorema.

Gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Sugerencia: $$|f_1(x)| \leqslant M, \|f_2(x)| \leqslant M(x-a), \ |f_3(x)| \leqslant \frac{1}{2!}M(x-a)^2, \ \ldots$ $

Answer 2

Gracias a @LRD comentario, debo escribir la solución como sigue.

Mediante el siguiente teorema para probar

"Supongamos $\{f_n\}$ es una secuencia de funciones definidas en E, y supongamos que $|f_n(x)|\le M_n$ ($x\in E$, $n=1,\ 2,\ 3,\ldots$). A continuación, $\sum f_n$ converge uniformemente en $E$ si $\sum M_n$ converge."

Desde $f_1$ es Riemann integrable función, hay una constante $M>0$ tal que $|f_1(x)|\le M$ todos los $x\in [a,b]$. A partir de la suposición de $f_{n+1}(x)=\int_a^x f_n(t)dt,$ podemos conseguir fácilmente las siguientes desigualdades: $$f_2(x)\le M(b-a),$$ $$f_3(x)\le \frac{1}{2!}M(b-a)^2,$$ $$\ldots$$ $$f_{n+1}(x)\le \frac{1}{n!}M(b-a)^n,$$

Tenemos $M+M(b-a)+\frac{1}{2!}M(b-a)^2+ \ldots +M \frac{1}{n!}(b-a)^n+ \ldots = Me^{b-a}$. Aplicando el teorema anterior tenemos $g_n=\sum\limits_{k=1}^n f_k(x)$ converge uniformemente en $[a,b]$.