Encontrar un polinomio que $\sqrt6$ es un número algébrico

Question

La pregunta completa es:

Un número $\alpha \in \mathbb R$ se dice que es algebraico si existe un % polinomio distinto de cero $p(x)$con coeficientes enteros tal que $p(\alpha) = 0$. Muestran que $\sqrt 6$ es un número algébrico.

Mis pensamientos iniciales son que un polinomio como $p(x) = x^2 - 6$ funcionaría ya que igualaría $0$. Aunque esto parece demasiado simple (especialmente con respecto a los problemas en el sistema). ¿Me estoy perdiendo algo aquí?

Gracias.

Answer 1

No le falta nada. Que $p(x)=x^2-6$. Entonces, desde

• $p(x)\neq0$;
• los coeficientes de $p(x)$ son números enteros;
• $\sqrt6$ es una raíz de $p(x)$,

$\sqrt6$ es un número algébrico. Sí, es tan simple como eso.

Answer 2

A veces las cosas en matemáticas parecer demasiado simple, sólo porque se expresaron en contra de la intuición maneras.

En primer lugar, ¿cuál es el polinomio cero? De acuerdo a Mathworld,

La constante polinomio $P(x) = 0$ cuyos coeficientes son todos iguales a $0$. El correspondiente polinomio de la función es la función constante con valor de $0$, también llamado el cero mapa. El cero del polinomio es la identidad aditiva de la aditivo grupo de polinomios.

A continuación, $p(x) = 0x^3 + 0x^2 + 0x + 0$ es una manifestación de la polinomio cero, mientras que $p(x) = x^2 - 6$ es un no-cero del polinomio. Los coeficientes de los primeros son todos los $0$, mientras que los coeficientes de esto último son las $0$ infinitamente muchas veces, a continuación,$1, 6$.

Como ya se ha verificado, el director de la raíz de $x^2 - 6$ $x = \alpha = \sqrt{6}$ (el otro es $-\alpha$). A continuación, $\alpha$ es de hecho un entero algebraico.

Pruebe estas en Wolfram Alpha: Exponent[x^2 - 6, x] y Exponent[0x^3 + 0x^2 + 0x + 0, x]. La primera debe evaluar a la significativa $2$, este último para los que no son tan significativas $-\infty$.