Estoy tratando de probar que
Deje que $(Y, \rho_ {Y}),(K, \rho_ {K})$ un espacio métrico completo y un espacio métrico compacto, respectivamente. Dejemos, también, $Z= \mathcal {C}^{0}(K,Y)$ el espacio métrico de las funciones continuas, de tal manera que $K \longrightarrow Y$ con la métrica uniforme y $ \mathcal {H} \subset Z$ . $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto en $Z$ iff para cada $\{f_{k}\}$ de tal manera que $f_{k} \in\mathcal {H}$ hay una consecuencia $\{f_{k_{j}}\}$ que converge en $Z$ es decir $f_{k_{j}} \rightarrow\varphi\in Z$ .
La prueba que estoy tratando de leer:
Supongamos que $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto en $Z$ . Luego $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto. Por lo tanto, cada secuencia en $ \overline { \mathcal {H}}$ tiene una subsecuente que converge en $ \overline { \mathcal {H}}$ . Eso, en particular, significa que cada secuencia en $ \mathcal {H}$ que es una secuencia en $ \overline { \mathcal {H}}$ tiene una consecuencia que converge en $ \overline { \mathcal {H}}$ . Entonces, por cada $\{f_{k}\}$ de tal manera que $f_{k} \in\mathcal {H}$ hay una consecuencia $\{f_{k_{j}}\}$ que converge en $Z$ es decir $f_{k_{j}} \rightarrow\varphi\in\overline { \mathcal {H}} \subseteq Z$ .
A la inversa, supongamos que por cada $\{f_{k}\}$ de tal manera que $f_{k} \in\mathcal {H}$ hay una consecuencia $\{f_{k_{j}}\}$ que converge en $Z$ es decir $f_{k_{j}} \rightarrow\varphi\in Z$ . Queremos mostrar que $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto, o lo que es lo mismo, mostrar que $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto.
Ahora $ \overline { \mathcal {H}} \subset Z$ pero $Z$ está completo y $ \overline { \mathcal {H}}$ está cerrado (ya que el cierre está cerrado), por lo tanto $ \overline { \mathcal {H}}$ está completo. Entonces sólo queda mostrar que $ \overline { \mathcal {H}}$ está totalmente limitado, porque si es así entonces $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto.
Mi pregunta es cómo mostrar esto usando la hipótesis de que cada secuencia tiene una subsecuente que converge en $Z$ ?
Gracias a las respuestas de @BrianMScott y @BenjaminLim. En las siguientes líneas completo la prueba que estaba haciendo con sus útiles consejos, los comentarios son bienvenidos
Prueba: Supongamos que $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto en $Z$ . Luego $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto. Por lo tanto, cada secuencia en $ \overline { \mathcal {H}}$ tiene una subsecuente que converge en $ \overline { \mathcal {H}}$ . Eso, en particular, significa que cada secuencia en $ \mathcal {H}$ que es una secuencia en $ \overline { \mathcal {H}}$ tiene una consecuencia que converge en $ \overline { \mathcal {H}}$ . Entonces, por cada $\{f_{k}\}$ de tal manera que $f_{k} \in\mathcal {H}$ hay una consecuencia $\{f_{k_{j}}\}$ que converge en $Z$ es decir $f_{k_{j}} \rightarrow\varphi\in\overline { \mathcal {H}} \subseteq Z$ .
A la inversa, supongamos que por cada $\{f_{k}\}$ de tal manera que $f_{k} \in\mathcal {H}$ hay una consecuencia $\{f_{k_{j}}\}$ que converge en $Z$ es decir $f_{k_{j}} \rightarrow\varphi\in Z$ . Queremos mostrar que $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto, o lo que es lo mismo, mostrar que $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto.
Ahora $ \overline { \mathcal {H}} \subset Z$ pero $Z$ está completo y $ \overline { \mathcal {H}}$ está cerrado (ya que el cierre está cerrado), por lo tanto $ \overline { \mathcal {H}}$ está completo. Entonces sólo queda mostrar que $ \overline { \mathcal {H}}$ está totalmente limitado, porque si es así entonces $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto. Pero, para eso, sólo necesitamos probar que $ \mathcal {H}$ está totalmente delimitado, ya que el cierre de un conjunto totalmente delimitado está totalmente delimitado.
Supongamos que $ \mathcal {H}$ no está totalmente limitado, entonces existe $ \epsilon >0$ de tal manera que no hay una cubierta finita de bolas, para $ \mathcal {H}$ de la forma $\{B_{g_{i}, \epsilon }^{ \rho_ { \infty }}\}$ con $g_{i} \in\mathcal {H}$ . Por lo tanto, podemos elegir un $f_{1} \in\mathcal {H}$ y habrá un $f_{2} \in\mathcal {H}$ de tal manera que $f_{2} \notin B_{f_{1}, \epsilon }^{ \rho_ { \infty }}$ . De la misma manera habrá un $f_{3} \notin B_{f_{1}, \epsilon }^{ \rho_ { \infty }} \cup B_{f_{2}, \epsilon }^{ \rho_ { \infty }}$ y en general habrá $f_{k} \notin\bigcup_ {i=1}^{k-1}B_{f_{i}, \epsilon }^{ \rho }$ . Por lo tanto, hemos definido, inductivamente, una secuencia que hay $ \epsilon >0$ de tal manera que $ \rho (f_{k},f_{ \ell }) \geq\epsilon $ para cada $k \neq\ell $ ya que si $ \rho (f_{k},f_{ \ell })< \epsilon $ para los suficientemente grandes $k, \ell $ por lo tanto $f(k) \in B_{f_{ \ell }, \epsilon }^{ \rho_ { \infty }}$ que contradice la construcción anterior. Por lo tanto, cada subsecuente no es caucásico y por lo tanto ninguno de ellos tiene la oportunidad de converger. Pero por hipótesis, cada secuencia en $ \mathcal {H}$ tiene una subsecuente convergencia, y suponiendo que $ \mathcal {H}$ no estaba totalmente delimitada nos ha llevado a la contradicción. Por lo tanto $ \mathcal {H}$ está totalmente limitado en $Z$ y, por lo tanto, $ \overline { \mathcal {H}}$ . Esto prueba que, desde que $ \overline { \mathcal {H}}$ está completa y totalmente delimitada, $ \overline { \mathcal {H}}$ es compacto. Por último, $ \mathcal {H}$ es relativamente compacto.
