Derivada normal expresada en coordenadas polares

Question

Una derivada normal en un contorno dado $\Gamma$ de una función $u$ expresado en coordenadas cartesianas $u=u(x,y)$ se puede calcular como: $$\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot n = \frac{\partial u}{\partial x} n_x + \frac{\partial u}{\partial y} n_y $$ donde los símbolos están representados en la figura.

Cuando un segmento de una curva está parametrizado por la variable normalizada $\xi \in [-1,1]$ podemos describir su geometría como:

$x=x(\xi)= \sum_i x_i N_i(\xi)$ y $y=y(\xi)= \sum_i y_i N_i(\xi)$

donde $(x_i, y_i)$ son puntos nodales, y $N_i$ - polinomios de interpolación, por ejemplo, los polinomios de Lagrange. Esto conduce a las derivadas:

$\frac{dx}{d\xi}= \sum_i x_i \frac{dN_i}{d\xi}$ y $\frac{dy}{d\xi}= \sum_i y_i \frac{dN_i}{d\xi}$

El jacobiano de la transformación entre coordenadas locales y globales puede calcularse como

$$d\Gamma = \sqrt{dx^2+dy^2} $$

y las componentes del vector normal son iguales

$n_x = \cos \alpha = \frac{dy}{d\Gamma}$

$n_y = - \sin \alpha = -\frac{dx}{d\Gamma}$

De este modo se pueden describir las componentes del vector normal en términos de coordenadas cartesianas y, en consecuencia, en términos de parámetro $\xi$ .

Ahora bien, ¿qué pasa si la función $u$ y una curva $\Gamma$ se expresan en coordenadas polares $r = r(\theta)$ , $\theta = [0,2\pi]$ , $u=u(r,\theta)$ ? Recientemente, un documento que he encontrado proporciona la siguiente fórmula: $$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{r'}{r^2} \frac{\partial u}{\partial \theta}.$$

Según la teoría la derivada normal en coordenadas polares viene dada por: $$\frac{\partial u}{\partial n} = \nabla u \cdot n = \frac{\partial u}{\partial r} n_r + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} n_\theta $$ y lo que necesito es expresar las componentes radial y angular del vector normal en términos de coordenadas polares, o de hecho en términos de parámetro $\theta$ porque $r=r(\theta)$ . Teniendo en cuenta que $x=r(\theta) \cos \theta$ , $y=r(\theta) \sin \theta$ y $d\Gamma = \sqrt{dx^2+dy^2} $ se puede obtener que $$d\Gamma = \sqrt{r'^2 + r^2} $$ pero no encuentro ninguna relación trigonométrica entre $dr$ , $d\theta$ y $n_r$ , $n_\theta$ como se puede encontrar para $dx$ , $dy$ , $n_x$ , $n_y$ . Así que mi pregunta es: ¿Podría alguien proporcionar fórmulas para $n_r$ y $n_\theta$ en términos de coordenadas polares?

EDITAR : He encontrado otro documento que contiene la fórmula que estaba buscando. Es diferente de la fórmula del artículo anteriormente citado del mismo autor. Lo que es más, es un poco diferente de lo que Ted Schifrin derivado.

$$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{r}{\sqrt{r'^2 + r^2}} \left[ \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{r'}{r^2} \frac{\partial u}{\partial \theta} \right] $$

El apéndice del documento ofrece la derivación de la fórmula. Ahora todo me parece bien.

Answer 1

Se supone que el contorno en cuestión viene dado por $r=r(\theta)$ .

EDITAR : Vale, he intentado descifrar lo que está pasando aquí. Supongo que el artículo que citas se refiere a la derivada normal a lo largo de una curva de nivel (contorno) de $u$ . La fórmula no parece ser correcta con mi suposición de que el autor está parametrizando la curva por $r=r(\theta)$ . Con esta suposición, obtengo la fórmula $$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{r\frac{\partial u}{\partial r}-r'\frac{\partial u}{\partial\theta}}{\sqrt{r^2 + r'^2}}=\frac{\frac{\partial u}{\partial r}-\frac{r'}r\frac{\partial u}{\partial\theta}}{\sqrt{1 + \big(\frac{r'}r\big)^2}}.$$