Realmente no estoy $100\%$ seguro de que mi solución es correcta, también, existe una indeterminación en el resultado final: no acabo de identificar la clase que usted está buscando en $P^1\Bbb H\simeq \Bbb S^4$, sólo a firmar.
Deje $Q$ ser el projectivisation de $p:V\rightarrow P^1\Bbb H$. Como nota, $Q$ es isomorfo a $P^3\Bbb C$. Para ser más precisos, podemos considerar a $\Bbb C\subset \Bbb H$ a través de $1,i\mapsto 1,i$ respectivamente. Gracias a la norma izquierda $\Bbb H$-espacio vectorial estructura en $\Bbb H^2$, $\Bbb H^2$ puede ser visto como un vector complejo espacio isomorfo $\Bbb C^4$. Ahora, por definición, de $Q$ obtenemos un homeomorphism
$$\begin{array}{rcl}Q=\coprod_{S\subset\Bbb H^2}P(S)&\longleftrightarrow &P^3\Bbb C\\ l&\mapsto&l\\l\in P(\Bbb H\cdot l)&\gets&l\end{array}$$
El directo de la suma se toma sobre todos los quaternionic (a la izquierda) líneas de $S$, y para cada una de dichas línea $S$, $P(S)$ es el complejo proyectiva espacio en $S$.
El pullback paquete de $V$ $Q$ se divide en dos complejos de línea de paquetes de $L\oplus L'$ ver $Q$, con la fibra de $L$ $l$ $l$ sí, de forma que (modulo de la anterior isomorfismo), $$L\text{ is isomorphic to the tautological line bundle over }P^3\Bbb C$$
@Matt E dio un argumento convincente para la desaparición de la primera clase de Chern de $V$. Calcular el total de la clase de Chern de la retirada de paquete da $$\pi^*(1+c_2(V))=c(L\oplus L')=c(L)c(L')=1+c_1(L)+c_1(L')+c_1(L)c_1(L')$$ The class $c_1(L)+c_1(L')$ vanishes, and it follows (I believe) that $L'\simeq L^*$, since both are line bundles, and thus completely caracterized by their first Chern class. If $c$ is the standard degree $2$ generator of $H^3(Q)=H^2(P^3(\Bbb C))$ (i.e. the first Chern class of the tautological line bundle over $P^3(\Bbb C)$), then $$\pi^*(c_2(V))=-c^2.$$
Queda por entender $\pi$. La canónica mapa de $Q\to P^1\Bbb H$ es un fibration. En realidad, es obtenido a partir de la Hopf fibration $\Bbb S^3\hookrightarrow\Bbb S^7\hookrightarrow\Bbb S^4$ por quotienting a cabo la acción de $\Bbb S^1$).
$$\begin{array}{rc}\Bbb S^2\simeq P^1\Bbb C\hookrightarrow & P^3(\Bbb C)\\&\downarrow\\ &\Bbb S^4\end{array}$$
El asociado espectral de la secuencia se derrumba en el rango de $2$ debido a cómo los distinto de cero en los nodos están colocados, y esto nos dice que el cohomology de $\Bbb S^4$ grado $4$ es isomorfo a la de $P^3\Bbb C$ grado $4$ a través de $\pi^*$. Desde $\pi^*(c_2(V))=-c^2$ es un generador de grado de la $4$, necesariamente, ha $c_2(V)=$ uno de los dos generadores de $H^4(\Bbb S^4)$ . Yo no sé cuál es.
