Utilizando la desigualdad de Chebyshev para obtener límites inferiores

Question

Necesito ayuda con una pregunta que he encontrado en Master Stats. Desconozco la desigualdad de Chebyshev y por eso no puedo hacer esta pregunta, ¿alguien puede ayudarme?

P) Una empresa produce tablones cuya longitud es una variable aleatoria de media 2,5m y una desviación típica de 0,1m. Utilice la desigualdad de Chebyshev para obtener una cota inferior de la probabilidad de que la longitud de los tablones no difiera más de 0,5 m de la longitud media.

Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria con media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma>0$ . Entonces la desigualdad de Chebyshev dice que si $k>0$ entonces $$P(|X-\mu| \ge k\sigma)\le \frac{1}{k^2}.$$ En nuestro caso, $X$ es la longitud de una tabla elegida al azar de la producción de la empresa. A continuación, $\mu=2.5$ y $\sigma=0.1$ . Queremos encontrar $k$ tal que $k\sigma=0.5$ . Así, $k=\frac{0.5}{\sigma}=\frac{0.5}{0.1}=5$ . Concluimos que $$P(|X-2.5| \ge 0.5) \le \frac{1}{5^2}.$$

De ello se desprende que $$P(|X-2.5| < 0.5) \ge 1-\frac{1}{5^2}.\tag{$\ast$}$$ Esto no es bastante lo que queremos, ya que queremos encontrar un número $p$ tal que $P(|X-2.5| \le 0.5)\ge p$ . Se puede argumentar que la probabilidad de que la diferencia sea Absolutamente exacto $0.5$ es $0$ para que $(\ast)$ nos da la desigualdad que queremos. Eso da un límite inferior de $1-\frac{1}{5^2}=0.96$ . Hay una probabilidad de al menos $0.96$ que la tabla no difiere en más de $0.5$ de la media $2.5$ .

Típicamente, la desigualdad de Chebyshev da muy conservador estimaciones. En nuestro caso, aunque Chebyshev dice que $P(|X-2.5|\ge 0.5) \le \frac{1}{5^2}$ la probabilidad real es probablemente mucho menor que $\frac{1}{5^2}$ . Por lo tanto, el límite inferior de $0.96$ es probablemente conservador. De manera informal, más de $96\%$ de la producción estará "dentro de las especificaciones".