Si$f$ es analítico en una región y en cada punto, ya sea$f\,' = 0$ o$ f = 0$, entonces$f$ es constante

Question

Supongamos que$f$ es analítico en una región y en cualquier punto, ya sea$f\,'= 0$ o$f = 0$. Muestre que$f$ es constante.

Mi intento:

$[f^{2}(z)]\,'=2f(z)f\,'(z)≡0$, por lo que solo sería necesario borrar según la condición dada

¿Mi razonamiento es correcto?

Answer 1

Se dio un buen método. Pedro le da a otro en los comentarios: La región es la unión de las cero conjuntos de $f$$f'$, lo que implica que al menos uno de estos cero conjuntos tiene un punto de acumulación en la región.

Aquí es otra forma de aplicar el teorema de identidad. Supongamos que existe $z_0$ tal que $f(z_0)\neq 0$. Por la continuidad, no es un disco abierto donde $f$ es nonvanishing. Por lo tanto, $f'$ se desvanece en este disco, lo que implica que $f'\equiv 0$ por la identidad teorema para funciones analíticas.