Resolución de ecuaciones por radicales

Question

Dejemos que $\zeta$ sea un número complejo, $\zeta\neq 1, \zeta^3=1$ . Entonces la expresión $$(x_1+\zeta x_2+\zeta^2x_3)^3$$ sólo toma dos valores distintos cuando permutamos $x_j$ 's. $\bf{Why\ this?}$

Por lo tanto, (la expresión anterior) satisface una ecuación cuadrática. $\bf{Why\ again?}$

Por lo tanto, las sumas $$x_{\pi(1)}+\zeta x_{\pi(2)}+\zeta^2x_{\pi(3)}$$ donde $\pi$ recorre todas las permutaciones de $\{1,2,3\}$ se puede obtener resolviendo una ecuación cuadrática, y luego tomando una raíz cúbica. Además, $x_1,x_2,x_3$ se puede obtener mediante operaciones elementales a partir de esas sumas y luego la ecuación cúbica $$x^3+ax=b$$ se puede resolver en términos de radicales.

¿Hay alguien tan amable de (intentar) explicarme qué está pasando aquí? Gracias de antemano

Answer 1

A priori, la expresión $(x_1+x_2\zeta+x_3\zeta^2)$ podría asumir hasta $6$ valores diferentes cuando permutamos los $x_i$ (porque $S_3$ tiene orden $6$ ). Nótese, sin embargo, que las permutaciones cíclicas del $x_i$ basta con multiplicar toda la expresión por $\zeta$ o $\zeta^2$ . Desde $\zeta^3=1$ la expresión $(x_1+x_2\zeta+x_3\zeta)^3$ es, por tanto, invariable bajo la $C_3$ parte de la $S_3$ -acciones. Esto deja como máximo dos valores para la expresión $(x_1+x_2\zeta+x_3\zeta)^3$ Por ejemplo $\alpha_1$ y $\alpha_2$ (depende de $x_1,x_2,x_3$ ).

En segundo lugar, usted pregunta por qué $\alpha_1,\alpha_2$ satisfacen una ecuación de grado dos. Esto se debe a que el polinomio $$F(X)=(X-\alpha_1)(X-\alpha_2)$$ es invariable bajo el intercambio de $\alpha_1$ y $\alpha_2$ . En consecuencia, es invariable bajo el conjunto de la $S_3$ -acciones discutidas anteriormente. Según la teoría de Galois, debe estar en $\mathbb{Q}[X]$ porque ciertamente tenía coeficientes en el campo $\mathbb{Q}(\zeta)$ y es invariable bajo $\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q})$ .

Answer 2

Dejemos que $f_{\zeta}(x_1,x_2,x_3)= (x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3)^3$ \begin{align} f_{\zeta}(x_1,x_2,x_3) & = (x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3)^3 = (\zeta^3x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3)^3\\ & = (\zeta(\zeta^2x_1 + x_2 + \zeta x_3))^3 = (\zeta^2x_1 + x_2 + \zeta x_3)^3\\ & = f_{\zeta}(x_2,x_3,x_1) \end{align} Por lo tanto, tenemos $$f_{\zeta}(x_1,x_2,x_3) = f_{\zeta}(x_3,x_1,x_2) = f_{\zeta}(x_2,x_3,x_1)$$ $$f_{\zeta}(x_1,x_3,x_2) = f_{\zeta}(x_2,x_1,x_3) = f_{\zeta}(x_3,x_2,x_1)$$