ayuda en ejercicio de límite

Question

Estoy teniendo algunos problemas para resolver este límite:

$$\lim_{x\to\infty} x\left[\left(\cosh x\right)^ \frac1x - \left(1+\frac1x\right)^x\right]$$

Es parte de un conjunto de límites que deben ser resueltos utilizando taylor. He probado este camino:

$$\lim_{x\to\infty} x\left[e^{\frac1x\ln(\cosh x)}-e^{\ln\left(1+\frac1x\right)x}\right]$$

Luego lo intentó con la manipulación algebraica utilizando la definición de coseno hiperbólico $\frac12(e^x+e^{-x})$ y, a continuación, también he jugado un poco con l'Hôpital, pero se convierte en algo sospechosamente compicated... Yo estoy tomando el análisis real 1 y mi conjunto de herramientas es:

-manipulación algebraica

-talyor de la serie

-l'Hôpital (si y sólo si todo lo demás falla)

No se pueden utilizar las técnicas más avanzadas, ya que no son parte del curso. Estoy seguro de que hay algo que es obvio que me estoy perdiendo. Cualquier idea sobre cómo proceder?

Answer 1

He intentado varios enfoques, y la forma más rápida parece ser la siguiente [no requiere de L'Hospital]:

$$ \lim_{x\to\infty} x[e^{\ln(\cosh x)\frac1x}-e^{\ln(1+\frac1x)x}]=\lim_{x\to\infty} e^{\ln x}[e^{\ln(\cosh x)\frac1x}-e^{\ln(1+\frac1x)x}] $$ $$ \lim_{x\to\infty} e^{\phi_1(x)}-e^{\phi_2(x)}\ . $$ Vamos a analizar la serie de expansiones de las dos funciones en el exponente hasta el segundo siguiente a la orden de líder $$ \phi_1(x)=\ln x+\frac{1}{x}\ln(\cosh(x))=\ln x+\frac{1}{x}\ln\left(\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})\right)=\ln x-\frac{\ln 2}{x}+1+\frac{1}{x}\ln(1+e^{-2}) $$ $$ \sim \ln x+1-\frac{\ln 2}{x} $$ $$ \phi_2(x)=\ln x+x \ln(1+1/x)\sim\ln x +1-\frac{1}{2x} $$ Por lo tanto, Taylor-la expansión de la exponenciales [del tipo $e^{-c/x}$] alrededor de $x=\infty$ $$ e^{\phi_1(x)}\sim e x e^{-\ln 2/x}\sim e x -e \ln (2)+\frac{e \ln ^2(2)}{x 2}-\frac{e \ln ^3(2)}{6 x^2}+\ldots $$ $$ e^{\phi_2(x)}\sim e x-\frac{e}{2}+\frac{e}{8 x}-\frac{e}{48 x^2}+\ldots $$ obtenemos el resultado final restando una de la otra $$ \boxed{\lim_{x\to\infty} x[e^{\ln(\cosh x)\frac1x}-e^{\ln(1+\frac1x)x}]=\frac{e}{2}-e\ln 2\aprox -0.525028...} $$