Clasificación de los subconjuntos compactos de $L^p$

Question

Algunos de mis teoremas favoritos en análisis son los que clasifican los subconjuntos (pre)compactos de un espacio concreto. Por ejemplo:

• Le site Teorema de Heine-Borel clasifica los subconjuntos compactos de $\mathbb{R}^n$ .

• Le site Teorema de Arzela-Ascoli clasifica los subconjuntos compactos de $C(X,Y)$ donde (normalmente) $X$ es compacto y $Y$ es métrica.

• Teorema de Montel clasifica los subconjuntos compactos de $\text{Hol}(U)$ .

¿Podemos dar una descripción similar de los subconjuntos compactos de $L^p$ ?

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Notas: Me doy cuenta de que estoy siendo un poco vago en dos sentidos.

Primero, $L^p$ ¿de qué? Francamente, no lo sé. Estaría muy interesado en ver un teorema sobre $L^p[0,1]$ o más generalmente sobre $L^p(X)$ donde $X$ es Hausdorff localmente compacto. Sólo quiero saber lo que hay.

En segundo lugar, ¿qué tipo de "clasificación" estoy buscando? Bueno, espero que una que sea similar en espíritu a los tres ejemplos anteriores, y en algún sentido específico para $L^p$ . Por ejemplo, decir que un conjunto es compacto si y sólo si es completo y totalmente acotado no cuenta realmente (ya que eso es cierto en cualquier espacio métrico).

Answer 1

Mira las bonitas notas de Hanche-Olsen y Holden sobre el Teorema de compacidad de Kolmogorov-Riesz caracterizando la compacidad de la norma en $L^p(\mathbb{R}^n)$ para $1 \leq p \lt \infty$ en términos de uniformidad $p$ -integrabilidad y $p$ -ver el Teorema 5 en la página 3 para la declaración precisa del resultado. Esto está muy en el espíritu de los teoremas que mencionas. No te pierdas las notas históricas de la sección 4, donde puedes encontrar una gran cantidad de referencias a otros resultados y aplicaciones relacionados. Estas notas y las referencias que contienen deberían responder por completo a tu pregunta.

También me gustaría indicarle que el tema está estrechamente relacionado con Teorema de Dunford-Pettis sobre la compacidad débil en $L^1$ .