representación inducida, grupo diédrico

Question

Estoy tratando de construir las representaciones inducidas del grupo diédrico $G=D_p$ , $|D_p|=2p$ si tomo el subgrupo $H=\langle r \rangle \cong C_p$ que se genera por las rotaciones. Tengo problemas al tratar de entender la forma general de la construcción, así que lo intento con este ejemplo. ¡No es una tarea!

Si $W$ es un $\mathbb{Q}H$ -entonces la representación inducida se define como $\mathrm{ind}^G_H (W):=W \otimes_{\mathbb{Q}H} \mathbb{Q}G$ . En este ejemplo $W$ tiene que ser $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ porque estos son los simples $\mathbb{Q}H$ -módulos. Para $k=\dim(W)$ y $l=[G:H]$ Puedo elegir un $\mathbb{Q}$ -base $w_1,\cdots , w_k$ de $W$ y un $\mathbb{Q}H$ -base $g_1,\cdots , g_l $ de $\mathbb{Q}G$ . Entonces $$w_1 \otimes g_1,\cdots ,w_k \otimes g_1,\cdots w_k \otimes ,g_l $$ tiene que ser un $\mathbb{Q}$ -base de $\mathrm{ind}^G_H(W)$ y $\dim(\mathrm{ind}^G_H(W))=kl$ .

Así que si primero tomo $W=\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ¿Cuál sería la representación inducida? Creo que el grupo diédrico debe tener dos $1$ -dim y uno $(p-1)$ -dim representaciones. ¿Cómo puedo obtener la $(p-1)$ -¿dim uno?

De alguna manera no puedo escribir ningún comentario:

Gracias por su ayuda, pero tengo que trabajar con representaciones sobre $\mathbb{Q}$ y más tarde sobre $\mathbb{R}$ . Para obtener representaciones sobre $\mathbb{C}$ En este caso, pude evitar el uso de la representación inducida y para muchos grupos no fue realmente difícil obtener las representaciones irreducibles sin ella.

Por supuesto que conozco el teorema de Maschke, pero sólo me da la existencia de representaciones irreducibles, si por ejemplo $char(G)=0$ pero no cómo construirlos. Espero que alguien tenga una idea, cómo trabajar con $ind(W)$ ¿en este expamle?

Answer 1

El irreducible $(p-1)$ -dimensional $\mathbb{Q}G$ -no se induce a partir de una representación racional de $C_p$ . Pero dos veces es. Una forma de ver esto es trabajar sobre $\mathbb{C}$ . En $\mathbb{C}$ El $(p-1)$ -se descompone como una suma de $\frac{p-1}{2}$ representaciones bidimensionales irreducibles. Cada una se induce a partir de una representación unidimensional de $C_p=H$ . Sin embargo, si $\chi$ es un carácter unidimensional no trivial de $C_p$ entonces $\mathrm{Ind}_{G/H}\chi = \mathrm{Ind}_{G/H}\bar{\chi}$ . Eso se deduce de la teoría de Clifford: $H$ es normal en $G$ y $\chi$ y $\bar{\chi}$ se encuentran en una órbita bajo la acción de $G$ en los caracteres irreducibles de $H$ .

Así, si se induce la suma de todas las representaciones unidimensionales no triviales de $H$ a $G$ se golpea cada representación compleja bidimensional irreducible de $G$ dos veces.

Otra forma de obtener el $(p-1)$ -tipo de dimensión a través de la inducción es mediante la inducción de la representación trivial de $C_2\leq G$ . Esta inducción será $p$ -y tendrá la trivial $G$ -como un sumando directo (esto utiliza el teorema de Maschke, que por supuesto funciona bien sobre $\mathbb{Q}$ ). El resto de $(p-1)$ -es irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y es la representación que está buscando.