Se eligen cuatro personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que:
(a) ¿Una de las tres primeras personas elegidas cumple años en el mismo mes que la cuarta persona?
La solución dada para esta pregunta es sólo el complemento de
$P(\text{None of the first three in same month as 4th})= 1- (\frac {11}{12})^3 $
Me parece que la respuesta es errónea aquí porque el complemento de "Ninguno de los tres primeros en el mismo mes que el 4º" no equivale a "exactamente uno de los tres primeros elegidos tiene su día de nacimiento en el mismo mes" sino que el complemento significa que no todos los tres primeros están en el mismo mes que el 4º?
Por lo tanto, la respuesta no debería ser $\binom {3}{1} \frac {1}{12} \cdot\ \frac {11}{12} \cdot\ \frac {11}{12}$
(b) ¿La primera y la segunda personas elegidas cumplen años en el mismo mes, dado que hay algún par de personas que cumplen años en el mismo mes?
Para (b) la respuesta dada fue P(primero y segundo en el mismo mes)/P(algún par en el mismo mes)
En particular, la P(algún par en el mismo mes) entiendo que es más fácil utilizar la regla del complemento para obtener la respuesta: $1-(\frac {12}{12} \frac {11}{12}\frac {10}{12}\frac {9}{12} ) $
Sin embargo, cómo es que mi respuesta aquí es incorrecta:
$\binom {4}{2} \frac {12}{12} \frac {1}{12} \frac {11}{12} \frac {10}{12}$
Mi razonamiento es que hay $4$ artículos en total, estamos eligiendo $2$ a la vez para que sean un par por lo que la combinación debe ser $4C2$ .
El siguiente paso es calcular la probabilidad. Supongamos que la primera persona puede ser cualquiera del mes $\frac {12}{12}$ . Suponiendo que la 2ª persona comparta el mismo cumpleaños que la 1ª entonces debería ser $\frac {1}{12}$ . Esto completa el primer par, por lo tanto, la tercera persona tiene una probabilidad de $\frac {11}{12}$ y posteriormente la probabilidad de la 4ª persona es $\frac {10}{12}$
¿Qué hay de malo en mi razonamiento?
Muchas gracias de antemano.
