Exponer la correspondencia en el Teorema de la Correspondencia.

Question

Aquí está todo el problema. He respondido a las dos primeras partes, pero no puedo bajar el tercera parte .

Problema

Considere el grupo $D_{4} = \langle x,y:x^{2}=1, y^{4}=1, yx=xy^{3}\rangle$ y el homomorfismo $\Phi : D_{4} \rightarrow Aut(D_{4})$ definido por $\Phi (g) = \phi _{g}$ . Definir $\phi : G \rightarrow G$ por $\phi _{g}(x)=g^{-1}xg$ .

Hay tres partes para todo el problema, que son:

(a) Determinar $K = ker(\Phi)$

(b) Escribe los cosets de K.

(c) Que $Inn(D_{4}) = \Phi(D_{4})$ . Entonces, $\Phi : D_{4} \rightarrow Inn(D_{4})$ es suryectiva. Exponga la correspondencia en el Teorema de la Correspondencia de forma explícita.

Mi intento

✓ He encontrado el núcleo, que es $ker(\Phi) = \{e,y^{2}\}$

Hay cuatro cosets distintos de K, que he encontrado. No necesito ayuda con esto.

✗ No he expuesto completamente la correspondencia de subgrupos. Esto es lo que tengo:

• $ker(\Phi) \leftrightarrow \{e\}$
• $D_{4} \leftrightarrow Inn(D_{4})$

Sé que $|D_{4}|=8$ y como $\Phi$ es suryente y $|ker(\Phi)|=2$ , $|Inn(D_{4})|=4$ . Si estoy en lo cierto, debería haber 4 pares de subgrupos correspondientes. Sólo he bajado dos.

¿Algún consejo o comentario? ¿O probablemente alguna pista?

Answer 1

Tenga en cuenta que siempre $\,\ker\phi=Z(G)\,$ Así que, de hecho, tienes eso

$$G/Z(G)\cong Inn(G)$$

y como $\,G/Z(G)\,$ puede nunca sea cíclico no trivial, debe ser que $\,Inn(D_4)\cong C_2\times C_2\,$ . Este último grupo tiene tres subgrupos propios no triviales (todos ellos cíclicos de orden dos), no cuatro, así que no estoy seguro de por qué esperas cuatro... y corresponden a los cosets $\,x\,,\,y\,,\,xy\,$ ...

Añadido: Como ya se ha dicho, $\,Z:=Z(D_4)=\{1,y^2\}\,$ , pero a continuación, tenga en cuenta que $\,xZ=xy^2Z\,$ y de hecho $\,D_4/Z=\{\;\bar 1=Z\,,\,xZ\,,\,yZ\,,\,xyZ\,\;\}\,$ por lo que si denotamos por $\,f:D_4\to D_4/Z\,$ la correspondencia biyectiva entre los subgps. del cociente $\,G/Z\,$ y los subgps. de $\,D_4\;$ que contiene $\,Z\,$ obtenemos :

$$\begin{align*}(1)&Z&\longleftrightarrow &\bar 1=Z\\ (2)&\{1,x,y^2,xy^2\}&\longleftrightarrow &\langle\; xZ\;\rangle\\ (3)&\{1,y,\,y^2,y^3\}&\longleftrightarrow &\langle\; yZ\;\rangle\\ (4)&\{1,xy,\,xy^3,y^2\}&\longleftrightarrow &\langle\; xyZ\;\rangle\end{align*}$$

Answer 2

Es importante entender primero adecuadamente $\Phi$ . Ahora, como usted dice, $Inn(D_4)$ tiene cuatro funciones en él. Si has hecho las cuentas ya habrás visto que $\Phi$ es el que se indica a continuación:

$\Phi(1)=\Phi(y^2)=Id$

$\Phi(x)=\Phi(xy^2)=\phi_x$

$\Phi(y)=\Phi(y^3)=\phi_y$

$\Phi(xy)=\Phi(xy^3)=\phi_{xy}$

Ahora tenemos $D_4/ker(\Phi)\approx Inn(D_4)$ . ¿En qué consiste explícitamente este isomorfismo? Por la demostración del teorema fundamental del homomorfismo sabemos que este isomorfismo es precisamente:

$K\to Id$

$Kx\to \phi_x$

$Ky\to \phi_y$

$Kxy\to\phi_{xy} $

donde $K,Kx,Ky,Kxy$ son los cuatro cosets distintos ya obtenidos en una parte anterior.

Ahora, hay dos grupos de orden 4: el grupo cíclico $\mathbb{Z}_4$ y el grupo 4 de Klein no cíclico $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2$ . Desde $Inn(D_4)$ no es cíclico (si lo fuera, entonces $D_4$ sería abeliana, confiere este post y el comentario de Don Antonio) y así tiene los siguientes subgrupos: $\{Id\},\{Id,\phi_x\},\{Id,\phi_y\},\{Id,\phi_{xy}\}$ . Esto se debe a que todo grupo no cíclico de orden 4 tiene una estructura similar a la del grupo de Klein.

Para encontrar la correspondencia basta con mirar las imágenes de cada una de ellas bajo el isomorfismo. Por tanto, los subgrupos correspondientes son:

$\{K\}\leftrightarrow \{Id\}$

$\{K,Kx\}\leftrightarrow\{Id,\phi_x\}$

$\{K,Ky\}\leftrightarrow\{Id,\phi_y\}$

$\{K,Kxy\}\leftrightarrow\{Id,\phi_{xy}\}$

Esto completa la prueba.

Answer 3

Sugerencia : Los restantes subgrupos serán subgrupos cíclicos de orden $2$ . Habrá $3$ de ellos (ya que $Inn(G)$ no es cíclico para $G$ no etiquetados).