Galois grupo para $x^6-7x^2+7$

Question

¿Cuál es el grupo de galois de $x^6-7x^2+7$?

Mi enfoque: en primer lugar considerar la $x^3-7x+7$, es irreductible por Esenstein, y su discriminante es un cuadrado, por lo tanto el grupo de galois de este polinomio es$A_3$, y la división de campo de es$Q(x_1)$ donde $x_1$ es una raíz de $x^3-7x+7$, $[Q(x_1):Q]=3$

El problema que estoy teniendo ahora es encontrar a $[L:Q]$ donde $L$ es la división de campo de $x^6-7x^2+7$ sé que es, al menos, 6, y en la mayoría de los 24, ya $[L:Q(x_1)]$ es en la mayoría de los 8 y al menos 2.( Tocan la raíz cuadrada de las tres raíces de $x^3-7x+7$ da $L$ $[L:Q(x_1)]=8$ cuando las tres raíces cuadradas son independientes)

Si yo conozco a $[L:Q]$, entonces yo también conozco a $|Gal(L/Q)|$ y además sé que es transitivo y contiene $A_3$ como un subgrupo normal, entonces yo debería ser capaz de calcular $Gal(L/Q)$