problema de probabilidad en la distribución binomial

Question

La pregunta:

Un vendedor de periódicos compra los periódicos a 12 céntimos y los vende a 16 céntimos. Sin embargo, no puede devolver los periódicos no vendidos. Supongamos que su demanda diaria sigue una distribución binomial con n=10, p=1/3. Su madre le sugiere que compre 6 papeles al día, pero su novia le sugiere que compre 4 papeles al día. ¿A quién debe hacer caso el chico para obtener un mayor beneficio esperado?

Estoy confundido con esta pregunta. He intentado lo siguiente:

Defina la función de distribución de la probabilidad mediante $$f(x)=\sum_{i=0}^{10}\binom{10}{x}p^x(1-p)^{10-x}$$ entonces defina $u(x)=0.04x+(n-x)(-0.12)$ .

Para $n=6$ , encontrar $\sum_{x=0}^6u(x)f(x)$ para $n=10$ , encontrar $\sum_{x=0}^{10}u(x)f(x)$ y luego comparar las dos sumas. Pero no entiendo bien la pregunta. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Si el niño compra $n\leq10$ papeles y la demanda es $X$ entonces si $X>n$ ganará $0.04n$ y si $X\leq n$ ganará $0.04X-0.12(n-X)$ .

Eso da expectativa: $$E_n:=\sum_{k=0}^n\left[0.04k-0.12(n-k)\right]P(X=k)+\sum_{k=n+1}^{10}0.04P(X=k)$$ donde $X$ tiene una distribución binomial con parámetros $10$ y $p=\frac13$

La pregunta que hay que responder es en realidad: ¿tenemos $E_4>E_6$ o $E_6>E_4$ ?

Te lo dejo a ti.

Answer 2

Si un vendedor de periódicos compra $k$ papeles y vende $i$ papeles ( $i\leqslant k$ ), su beneficio es $$16i - 12k$$ por lo que el beneficio esperado es $$\sum_{i=0}^k\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\cdot (16i - 12k)+\sum_{i=k+1}^n\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}\cdot 4k$$ donde $n=10$ , $p=1/3$ .

Answer 3

Si compra $n$ periódicos, y la demanda de ese día es más que $n$ , seguirás obteniendo beneficios $u(n)$ . Porque actualmente sólo está sumando $u(x) f(x)$ hasta $x=n$ y no más allá, estás ignorando los beneficios de estos casos en los que la demanda supera a la oferta. En lugar de $\sum_{x=0}^n u(x) f(x)$ , deberías mirar $\sum_{x=0}^{10} u(\min\{x,n\}) f(x)$ .

Además, su expresión para $f(x)$ tiene un sumatorio sobre $i$ que no está haciendo nada. Debería ser eliminado.