Grado de trascendencia del campo de función de funciones meromórficas sobre$\mathbb{C}$

Question

¿Cuál es el grado de trascendencia del campo de funciones meromórficas sobre$\mathbb{C}$?

Por un argumento de cardinalidad (las funciones meromórficas están determinadas por su imagen bajo un subconjunto denso contable y$\mathbb{C}^{\mathbb{Q}}$ tiene la misma cardinalidad que$\mathbb{C}$), sé que una base de trascendencia tiene cardinalidad como máximo$|\mathbb{C}|$ pero No estoy seguro de si es exactamente de este tamaño.

Answer 1

Deje $\Lambda=\{\lambda_i\}$ ser una trascendencia base para $\mathbb{C}$$\mathbb{Q}$, y WLOG asumen $|\lambda_i|>2$ para todos los $i$. $\Lambda$ es incontable, por lo tanto (creo) podemos partición $\Lambda$ en una cantidad no numerable de contables distintos subconjuntos, decir $\{\lambda_{n\alpha}\}_{n=1}^\infty$ donde $\alpha\in I$, un innumerable conjunto de índices.

Ahora vamos a $p_\alpha(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty \lambda_{n\alpha}^{-n!}z^n$. Yo reclamo el $p_{\alpha}(z)$ son algebraicamente independientes sobre $\mathbb{C}$.

Porque si hubo un polinomio relación entre el $p_1,\dots,p_k$, decir $q(p_1,\dots,p_n)=0$, $q\in\mathbb{C}[x_1,\dots,x_k]$ es realmente un polinomio en algunos finitely generado extensión de $\mathbb{Q}$ determinado por sus coeficientes, decir $q\in\mathbb{Q}(\{\alpha_j\}_{j=1}^m)[x_1,\dots,x_k]$. Sólo un número finito de la $\lambda_{in}$ será algebraicamente dependiente de $\mathbb{Q}(\{\alpha_j\}_{j=1}^m)$, por tanto, para algunos $N$ la recaudación $\{\lambda_{in}\}_{i=1,\dots,k;\ n>N}$ será algebraicamente independiente sobre $\mathbb{Q}(\{\alpha_j\}_{j=1}^m)$. Pero, a continuación, $q(p_1,\dots,p_k)=0$ le dará relaciones algebraicas entre estos $\lambda_{in}$ lo suficientemente altos poderes, por una contradicción.

Si la prueba es correcta, esto daría lugar a una cantidad no numerable de algebraicamente independiente de meromorphic funciones, de ahí la trascendencia que el título tendrá innumerables.