Que ${Cat}^{\rightarrow\leftarrow} $ denotan la categoría de todos i de $$\bullet \longrightarrow\bullet \longleftarrow \bullet$$ to $Cat$. The comma construction gives a functor $\left (. \downarrow. \right): Cat ^ \longrightarrow {\rightarrow\leftarrow} $. The dual notion of this construction must be some functor which construct a category out of every functor from $\bullet \longleftarrow \bullet \longrightarrow\bullet$ to $Cat$ del gato. Mi primera pregunta es cómo esta construcción dual, preseunably llamado coma Co categoría construido. Mi segunda pregunta es Cuáles son algunos ejemplo de aplicación de categorías Co coma, paralelas al uso de categorías de la coma en la definición de límites y colimits. Gracias.
Respuesta
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La coma categoría es un tipo especial de (estricto) 2-límite: más precisamente, es el 2-límite de un diagrama de la forma $\bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet$, donde los dos exteriores vértices tienen peso $\mathbb{1}$ y el interior de la vértices tiene peso $\mathbb{2}$. Por lo tanto, tiene las siguientes universal de la propiedad: dado functors $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$, $G : \mathcal{D} \to \mathcal{E}$, $H : \mathcal{A} \to \mathcal{D}$, $K : \mathcal{A} \to \mathcal{C}$ y una transformación natural $\phi : F K \Rightarrow G H$, no hay una única functor $\mathcal{A} \to (F \downarrow G)$ haciendo lo obvio diagramas conmutan.
La doble idea, entonces, es un tipo especial de (estricto) 2-colimit, con una característica universal de la siguiente forma: dado functors $F : \mathcal{E} \to \mathcal{C}$, $G : \mathcal{E} \to \mathcal{D}$, $H : \mathcal{D} \to \mathcal{A}$, $K : \mathcal{C} \to \mathcal{A}$ y una transformación natural $\phi : K F \Rightarrow H G$, no hay una única functor $(F \star G) \to \mathcal{A}$ haciendo lo obvio diagramas conmutan. No es claro para mí lo $(F \star G)$ se ve como en general, pero al menos en los casos más sencillos, es distinto de la unión de $\mathcal{C}$ $\mathcal{D}$ junto con una nueva flecha de unirse al objeto de $F E$ $\mathcal{C}$ al objeto de $G E$$\mathcal{D}$, estas haciendo varios diagramas conmutan. Por ejemplo, si $\mathcal{D} = \mathbb{1}$, entonces la co-coma objeto de $(F \star G)$ es el resultado de la libre contiguo a $\mathcal{C}$ un cocone de $F$ a un nuevo objeto.
