¿Cuándo se ramifica totalmente la composición de dos extensiones totalmente ramificadas?

Question

Si K es una extensión finita de $ \mathbb Q_p$ para algún número primo $p$ (posiblemente necesite $p \neq 2$ ), $L_1$ y $L_2$ extensión abeliana totalmente ramificada de $K$ , $ \pi_1 , \pi_2 $ son respectivamente el uniformador que genera cada campo. ¿Es cierto que $ L_1 L_2$ está totalmente ramificado si $Nm_{L_1 / K}( \pi_1 )$ , $Nm_{L_2 / K}( \pi_2 )$ difiere por un elemento en la intersección de los dos grupos de normas.

¿Existe una prueba de este resultado (o la versión correcta del resultado) sin emplear grandes herramientas?

Añade a las 6:49 pm el 18 de febrero: De la teoría del campo de clases sabemos que hay una máxima extensión abeliana totalmente ramificada de un campo de números locales $K$ correspondiente a cada uniformador, por lo que esperaría que alguna versión de la declaración anterior sea cierta. Al menos cuando $Nm_{L_1 / K}( \pi_1 )=Nm_{L_2 / K}( \pi_2 )=x$ , $ L_1 L_2$ está totalmente ramificado, porque ambos están contenidos en $K^{ram}_x$ .

Answer 1

Permítanme dar una respuesta elemental en el caso del exponente abeliano $p$ extensiones de $K$ donde $K$ es una extensión finita de $ \mathbb {Q}_p$ que contiene una primitiva $p$ -la raíz $ \zeta $ de $1$ . Este es el caso básico, y la teoría de Kummer es suficiente.

Tales extensiones corresponden a sub $ \mathbb {F}_p$ -espacios en $ \overline {K^ \times } = K^ \times /K^{ \times p}$ (se pensó en un espacio vectorial sobre $ \mathbb {F}_p$ no se debe confundir con el grupo multiplicador de un cierre algebraico de $K$ ).

Se puede demostrar con bastante facilidad que el grado no ramificado $p$ extensión de $K$ corresponde a la $ \mathbb {F}_p$ -línea $ \bar U_{pe_1}$ donde $e_1$ es el índice de ramificación de $K| \mathbb {Q}_p( \zeta )$ y $ \bar U_{pe_1}$ es la imagen en $ \bar K^ \times $ del grupo de unidades congruentes con $1$ modulo el ideal máximo al exponente $pe_1$ . Esta es la "línea más profunda" en la filtración de $ \bar K^ \times $ . Véase, por ejemplo, la utilería. 16 de arXiv:0711.3878 .

Una extensión abeliana $L|K$ de exponente $p$ está totalmente ramificado si y sólo si el subespacio $D$ que da lugar a $L$ (en el sentido de que $L=K( \root p \of D)$ ) no contiene la línea $ \bar U_{pe_1}$ .

Ahora, si $L_1$ y $L_2$ están dadas por el sub $ \mathbb {F}_p$ -espacios $D_1$ y $D_2$ entonces el compositum $L_1L_2$ está dada por el subespacio $D_1D_2$ (el subespacio generado por la unión de $D_1$ y $D_2$ ). Así, el compositum $L_1L_2$ se ramifica totalmente si y sólo si $D_1D_2$ no contiene la línea más profunda $ \bar U_{pe_1}$ .

Adición. Una observación similar puede hacerse cuando el campo base $K$ es una extensión finita de $ \mathbb {F}_p(( \pi ))$ . Extensiones Abelianas $L|K$ de exponente $p$ corresponden a sub $ \mathbb {F}_p$ -espacios de $ \overline {K^+}=K/ \wp (K^+)$ (que no debe confundirse con un cierre algebraico de $K$ ), por la teoría de Artin-Schreier. El grado no ramificado $p$ La extensión corresponde a la imagen de $ \mathfrak {o}$ en $ \bar K$ que es un $ \mathbb {F}_p$ -línea $ \bar { \mathfrak o}$ (decir).

Así, la composición de dos extensiones abelianas totalmente ramificadas $L_i|K$ de exponente $p$ está totalmente ramificado precisamente cuando el subespacio $D_1+D_2$ no contiene la línea $ \bar { \mathfrak o}$ donde $D_i$ es el subespacio que da lugar a $L_i$ en el sentido de que $L_i=K( \wp ^{-1}(D_i))$ . Ver las partes 5 y 6 de arXiv:0909.2541 .

Answer 2

Esto no responde a su pregunta, sino que va en la dirección opuesta. El lema de Abhyankar dice que si, digamos, $L_1$ se ramifica dócilmente, entonces $L_1L_2/L_2$ será unramificado. Dudo que pueda excluir esta posibilidad simplemente mirando las normas de los uniformadores, pero podría estar equivocado.