Probablemente fue descubierto por alguien más pero: Cuando se toma el cuadrado de un número entero no nulo la suma de las cifras es siempre igual a $1,4,7,9$ ¿Cómo puedo escribir una prueba matemática de eso?
Esto se deduce fácilmente del hecho de que la aritmética de la suma de dígitos es equivalente a la aritmética en módulo 9. Para ver esto expresamos un número entero dado $n$ como $n = k_1 + 10 k_2 + ... + 10^j k_j$ donde el $k_i$ s son números enteros (de hecho, los dígitos de $n$ ). Entonces $n = k_1 + k_2 + ... + k_j \, (mod \, 9)$ .
Entonces la pregunta es simplemente qué números son cuadrados módulo 9 y la respuesta es precisamente los números de tu lista.
Esta es la base $9$ equivalente a todas las casillas terminadas en $0,1,4,5,6,9$ base $10$ porque la "raíz digital" que está calculando es también el resto al dividir por $9$ .
Esto funciona a su vez porque cualquier poder de $10$ deja restos $1$ cuando se divide por $9$ ( $10^r=\dots 999+1$ donde hay $r$ nes).
Es algo bonito de notar y explorar. Así que incluyo algunas sugerencias.
Tal vez quieras informarte sobre los restos de los cuadrados a otros módulos (bases). $8$ es sorprendente, y merece la pena conocerlo (¿puedes detectar el patrón y probarlo). Y también puedes ver lo que ocurre con los números primos. El concepto clave aquí es "residuo cuadrático".
Tenga en cuenta que $(3r\pm 1)^2=3(3r^2\pm 2r)+1$ deja restos $1$ en la división por $3$ y que $(3r)^2=9r^2$ es divisible por $9$ .
Al igual que cualquier número entero puede ser impar o par, todo número entero es un múltiplo de $3$ o uno más o uno menos que un múltiplo de $3$ . Por lo tanto, cada cuadrado deja restos $1$ en la división por $3$ o $0$ (equivalente a $9$ ) en la división por $9$ - y estos son sólo los que has elegido.
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Me debo estar perdiendo algo, pero $7^2 = 49$ y $4+9 = 13$ . O $8^2 = 64$ y $6+4 = 10$ . ¿A continuación, algunos de los dígitos del resultado también?
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Sí, me refiero a sumar los dígitos del resultado hasta que quede un número.