Utilizando series de Fourier he conseguido demostrar que
$$ \frac{x^4}{12} = \frac{\pi^2 x^2}{6} + 4 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^4}(1-\cos(nx)) , x \in [-\pi,\pi]$$
A partir de aquí aparentemente sólo hay que dar un paso para encontrar una expresión para $ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ . Necesito una pista de cuál podría ser este paso.
Para $\;x=\pi\;$ :
$$\frac{\pi^4}{12}=\frac{\pi^4}6+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^4}\left(1-(-1)^n\right)\stackrel{\text{Only odd index matters}}\implies\frac{\pi^4}{96}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^4}$$
y desde aquí:
$$I:=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac1{16}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}+\sum_{n=1}^\infty\frac1{(2n-1)^4}=\frac1{16}\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}+\frac{\pi^4}{96}\implies$$
$$\color{red}{I=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{96}\cdot\frac{16}{15}=\frac{\pi^4}{90}}$$
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@Joanpemo solo un tipo, arreglado.
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Sin pensarlo siquiera diría que basta con elegir un valor adecuado de $x$ . ¿Has probado esto?
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@GitGud sip, también sin pensarlo intentó disparar $x = \pi, x = \pi/2$ pero sin ningún resultado.
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Configuración $x=\pi$ me parece bien, pero no lo he seguido. ¿Por qué crees que no funciona?
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@GitGud Porque así solo se consiguen los términos impar de la serie. Pero probablemente se puede combinar con otra opción inteligente de $x$ para obtener el resultado.
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@BenS. yeh, que también era mi conjetura, lo que queda es encontrar esta opción inteligente ;)
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@BenS. Acabo de darme cuenta, gracias. Buena idea.
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¿Estás seguro de que has mostrado la ecuación correcta? En el factor $1-\cos(nx)$ donde es el $1-$ ¿De dónde viene?
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@BrentKerby integras dos veces $x^2 = \pi^2 / 3 + 4 \sum [(-1)^n / n^2] \cos(nx)$ .