En los anillos de funciones analíticas (real o complejo), usted podría tener cualquier función con una infinita expansión de productos, y quitar un factor a la vez. E. g., usted podría tomar $f_0(z)=\sin(\pi z)$, e $f_k(z)=\frac{\sin(\pi z)}{(z-1)(z-2)\cdots(z-k)}$. Como se indica en este ejemplo, usted realmente no necesita para pensar acerca de los productos infinite. Usted puede tomar cualquier función con un número infinito de ceros, y se dividen por factores correspondientes a esos ceros (incluyendo la multiplicidad de cada uno de cero, por lo que la toma de poderes no agregue de nuevo).
(Sería más agradable para tomar $f_0(z)=\sin(\pi z)$$f_k(z)=\frac{\sin(\pi z)}{\left(1-\frac{z^2}{1^2}\right)\left(1-\frac{z^2}{2^2}\right)\cdots\left(1-\frac{z^2}{k^2}\right)}$, por lo que en realidad son la eliminación de los factores de la expansión de productos.)
Usted puede hacer esto en cualquier conectada, abrir subconjunto de $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$ (conectado porque desea una integral de dominio), pero otra "natural" de la clase de los ejemplos que viene a la mente es el conjunto de productos de Blaschke con una infinidad de ceros en el disco unidad. En este caso, usted podría tomar
$$f_k(z)=\frac{f_0(z)}{(\phi_{a_1}(z))^{m_1}(\phi_{a_2}(z))^{m_2}\cdots(\phi_{a_k}(z))^{m_k}},$$
donde $a_1,a_2,\ldots$ son distintos de ceros en el infinito producto de Blaschke $f_0$, $m_k$ es la multiplicidad de $a_k$, e $\phi_{a_k}$ es un holomorphic automorphism del disco que envía a $a_k$ $0$(única hasta una constante en varios de los módulos $1$). Por lo tanto cada una de las $f_k$ es un producto de Blaschke y tiene un menos cero de $f_{k-1}$.
