¿Cómo calcular el enésimo término y la suma de esta serie si la diferencia común entre ellos no es explícita?

Question

Tengo esta serie compuesta por

$$1,2,5,10,17,26,...$$ ,

etc. Hasta ahora he encontrado que se suman en intervalos siendo números Impares. Pero no sé cómo encontrar, digamos el 16º término y la suma hasta ese término. ¿Qué debo hacer?

Edita:

Aunque es posible calcular la suma hasta el decimosexto término de la ecuación anterior, ¿qué ocurre si la serie es de orden superior?

$$6,7,14,27,46,...$$

¿Existe algún atajo para calcular la suma hasta el decimosexto término? ¿Se puede hacer a mano o sería necesario utilizar un programa informático como Maple?.

Answer 1

Aunque la respuesta de Opt es correcta, puede hacer falta mucha práctica para llegar a observaciones tan precisas sobre una serie desconocida. Un método muy bueno y directo en tal caso es el método de las diferencias

Establece formalmente:

cualquier término, de una serie numérica dada, puede expresarse como un polinomio de grado $n$ si el $n$ diferencias de la serie es constante.

Permítanme ilustrarlo con su serie.

$$1,2,5,10,17,26$$

Las primeras diferencias son $$1(=2-1);3(=5-2); 5(=10-5);7(=17-10);9(=26-17)$$ .

Las segundas diferencias son $$2(=3-1); 2(=5-3); 2(=7-5);2(=9-7)$$ Obsérvese que todas las segundas diferencias son constantes. Esto implica, por el enunciado del método de las diferencias, que la $r$ -ésimo término de su serie puede representarse como un polinomio cuadrático (grado 2), es decir $T_r = ar^2+br+c$ para algunas constantes $a,b,c$

Ahora, todo lo que tienes que hacer es equiparar $T_1 =1; T_2=2; T_3=5$ y resolver para $a,b,c$ .

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Añadido a petición: Para resolver lo anterior, sólo tiene que escribirlos después de poner $n=1,2,3$ :

$$a+b+c=1...E1$$ $$4a+2b+c=2...E2$$ $$9a+3b+c=5...E3$$

Tienes tres variables y tres ecuaciones, por lo que se pueden resolver fácilmente por sustracción y eliminación. $E2-E1$ y $E3-E2$ respectivamente, se obtienen dos nuevos conjuntos de ecuaciones:

$$3a+b=1...E4$$ $$5a+b=3...E5$$

y luego $E5-E4$ inmediatamente da $a=1$ . Introduciendo esto en E5 se obtiene $b=-2$ . Ponerlos en $E1$ da $c=2$ .
Así, nuestro $T_r=r^2-2r+2=1+(r-1)^2$

Para sumar los términos de 1 a 16, tienes que hacer:

$$\sum_{r=1}^{n}T_r=\sum_{r=1}^{n}(r^2-2r+2)$$

para lo cual se pueden utilizar fácilmente las identidades de suma para $r^2$ y $r$ .

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Espero que le sirva de ayuda.

Answer 2

Como dice Guarang Tandon. Puedes crear una tabla de diferencias entre términos consecutivos y luego repetir ese proceso en la lista que acabas de crear.

\begin{array}{|l|c|ccccccc|} \hline \text{index} & n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \dots\\ \hline \text{sequence} & f_n & 1 & 2 & 5 & 10 & 17 & 26 & \dots \\ \text{first differences} & \Delta f_n && 1 & 3 & 5 & 7 & 9 & \dots \\ \text{second differences} & \Delta^2 f_n &&& 2 & 2 & 2 & 2 & \dots \\ \hline \end{array}

Si tienes suerte, en algún momento todas las diferencias serán constantes. (Por supuesto, se trata de una afirmación inverificable. Lo único que sabemos con certeza es que las cuatro primeras diferencias de segundo son constantes. Sólo podemos suponer que este patrón fortuito continúa).

Se puede demostrar que, si $\Delta^d f_n$ es constante, entonces $f_n$ es un $d$ polinomio de grado $n$ .

Si las segundas diferencias son constantes, entonces las primeras diferencias deben ser una secuencia aritmética. En este caso, vemos que $\Delta f_n = 2n+1$ . De ello se deduce que $$f_{n+1} = f_n + 2n+1 \tag 1$$ .

Si las primeras diferencias son una secuencia aritmética, entonces $f_n = an^2 + bn + c$ para algunos números reales $a, b,$ y $c$ .

Ahora podemos utilizar una forma modificada de inducción matemática para hallar los valores de $a,b, $ y $c$ .

Desde $f_0=1$ entonces $1 = a\cdot0^2 + b\cdot 0 + c = c$ . Así que $f_n=an^2+bn+1$ .

En primer lugar, observamos que $$f_{n+1} = a(n+1)^2 + b(n+1) + 1 = f_n + 2an + (a+b).$$ Si lo comparamos con $f_{n+1}= f_n+ 2n+1$ vemos que $2a=2$ y $a+b=1$ . Por lo tanto $a=1$ y $b=0$ .

Concluimos que $f_n=n^2+1$ .

Sabemos que $\sum_{k=0}^n k^2=\frac 16n(n+1)(2n+1)$ .

Entonces \begin{align} \sum_{k=0}^n f_k &= \sum_{k=0}^n (k^2+1) \\ &= \sum_{k=0}^n k^2 + \sum_{k=0}^n 1 \\ &= \frac 16n(n+1)(2n+1) + (n+1) \\ &= \frac 16(n+1)(2n^2+n) + \frac 16(n+1)6 \\ &= \frac 16(n+1)(2n^2+n+6) \\ \end{align}

Compruébalo:

$\qquad \sum_{k=0}^5 f_k = 1+2+5+10+17+26=61$

$\qquad \left. \dfrac 16(n+1)(2n^2+n+6)\right|_{n=5}=\frac 16(6)(61)=61$

Así que, desde que empezamos a contar en $n=0$ El $16$ es el $f_{15} = 15^2+1=226$

y la suma del primer $16$ términos es $\sum_{k=0}^{15} f_k = \left. \dfrac 16(n+1)(2n^2+n+6)\right|_{n=15}=1256$ .

Answer 3

Eso es $$ 1 + 0 \\ 1 + 1 \\ 1 + 4 \\ 1 +9\\ 1 +16\\ 1 +25 \\ \vdots $$ Por lo tanto, $$a_n = 1+(n-1)^2,$$

lo que implica que $a_{16} = 1+(15)^2 = 226$ .

Answer 4

Como se dice en otras respuestas, el método de las diferencias es sin duda un camino a seguir. Sin embargo, en las ecuaciones simultáneas, se puede obtener $a$ inmediatamente:

Si el $d^{th}$ de la tabla de diferencias es una constante $q$ el coeficiente del primer término del polinomio es $\dfrac{q}{d!}$ .

Así, con la tabla de diferencias calculada en otras respuestas, tenemos que la segunda fila es una constante 2. Esto nos da $a=\dfrac{2}{2!}=1$ sin recurrir a ecuaciones simultáneas.

Ahora, si quisieras, podrías utilizar ecuaciones simultáneas para determinar los otros coeficientes o se podría restar $n^2$ de cada término:

$$1-0^2, 2-1^2, 5-2^2, 10-3^2, 17-4^2, 26-5^2,...\\ \text{which is }1,1,1,1,1,...$$

De lo cual, el polinomio es $\fbox{n²+1}$