Resolver

Question

Por lo tanto, he publicado una pregunta similar a esta, y sé que la ecuación es soluble porque $\gcd(91,147) = 7$ y $7 \mid 84$.

Enchufar en Wolfram Alpha, encontré que la solución es una línea $21n + 9$. Medios de conseguir esta respuesta, aunque no puedo averiguar.

He probado lo siguiente: $91x= 147m + 84 = 7(21m+12)$, pero esto difiere de la solución de WA.

Cualquier ayuda sería apreciada.

Neurax

Answer 1

$91x= 147m + 84 = 7(21m+12) \iff 13x = 21m + 12\tag{division by $7 $}$

es decir, resolver $\;13x \equiv 12 \pmod{21} \implies $

• resolver $\;x = 12\cdot 13^{-1} \pmod{21}$

y $x\equiv 9\pmod{21}$.

Ahora, encontrar todas las soluciones, modulo 147: los enteros $x = 9 + 21k \lt 147$

Answer 2

Estás en el camino correcto, solo tienes que dividir ambos lados por siete:

$13x = 12 + 21m \implies 13x \equiv 12 \pmod{21}$

Ahora encontrar el inverso de 13 mod 21, por lo que significa que te gusta. El Algoritmo euclidiano extendido trabaja aquí, pero es pequeño se puede hacer a mano: 13.

Multiplique ambos lados por 13: $$13x \equiv 12 \pmod{21}$ $ $$169x \equiv 156 \pmod{21}$ $ $$x \equiv 9 \pmod{21}$ $

Answer 3

Sugerencia $\ $ a Continuación se presentan algunas soluciones, por Gaussiano de inversión, idempotents, y CRT.

$\rm\displaystyle\:91x = 84\!+\!147n\iff 13x = 12\!+\!21n\iff mod\ 21\!:\ x \equiv \frac{12}{13} \equiv\frac{24}{26} \equiv \frac{3}5 \equiv \frac{12}{20} \equiv \frac{12}{-1} \equiv 9$

O $ $ $\rm\ 3\cdot 7\mid 12\cdot 14 = 13^2\!-\!1,\:$ $\rm\:mod\ 21\!:\ 13^2\equiv 1\:\Rightarrow\:x \equiv 13(13x)\equiv 13(12)\equiv 9$

O $ $ por el CRT, $\rm\ mod\ \color{#C00}7\!:\ x = 12/13\equiv -2/-1\equiv \color{#C00}{2},\:$ $\rm\:mod\ 21\!:\ x \equiv \color{#C00}{2\!+\!7n} \equiv 2,\color{#0A0}9,16.\:$ Pero $\rm\:mod\ 3\!:\ x\equiv 12/13\equiv \color{#0A0}0,\:$, por lo que la solución debe ser $\rm\:x \equiv \color{#0A0}9\ \ (mod\ 21),\:$ desde $\rm\:3\nmid 2,16.$

Cuidado con $\ $ Uno puede emplear fracciones $\rm\ x\equiv b/a\ $ en aritmética modular (como arriba) sólo cuando las fracciones tienen el denominador $ $ coprime $ $ para el módulo de $ $ (más de la fracción no (únicamente) existen, $ $ es decir, la ecuación de $\rm\: ax\equiv b\,\ (mod\ m)\:$ podría no tienen soluciones, o más de una solución). La razón de por qué fracción aritmética de las obras aquí (y en contextos análogos) se hacen más evidentes cuando uno aprende acerca de el universal propiedades de la fracción de los anillos (localizaciones).

El primer método es un caso especial de Gauss del algoritmo para calcular los inversos. Esto siempre funciona para el primer módulos, pero puede fallar para compuesto de los módulos (en el que caso de que uno puede emplear el algoritmo de Euclides extendido para calcular los inversos).

Answer 4

Queremos resolver la congruencia $$(7\cdot 13)x\equiv 7\cdot 12\pmod{7\cdot 21}.$$ Esto es equivalente a $$13x\equiv 12\pmod{21}.$$ Podemos resolver la congruencia multiplicando por la inversa de a $13$ modulo $21$. Sin embargo, es más fácil de reemplazar $13$$-8$. Así que nuestra congruencia es equivalente a $-8x\equiv 12\pmod{21}$, lo que equivale a $-2\equiv 3\pmod{1}$. Pero podemos reemplazar$3$$-18$, y llegar a $x\equiv 9\pmod{21}$.

Modulo el módulo original $147$, que da las soluciones $x\equiv 9\pmod{147}$, $x\equiv 30\pmod{147}$, y así, de un total de $7$ soluciones modulo $147$.

Comentario: yo no me preocuparía acerca de Alfa. A pesar de que se obtiene el derecho de respuesta, bastante a menudo, no sabe lo que está haciendo.

Answer 5

Sugerencia:

$$(1)\;\;\;\;\;91x=84\pmod{147}\iff 91x=84+147k\iff13x=12+21k\ldots$$

$$(2)\;\;\;\;\;13^{-1}=?\pmod{21}...$$