Hace un isomorfismo de grupos que puede ser escrito como un producto directo de inducir isomorphisms sobre los factores?

Question

Una respuesta a la pregunta Isomorfismo de Producto Directo de los Grupos dice que si usted tiene dos (o más) grupo isomorphisms $ \phi_1:A_1 \rightarrow X_1 $ $ \phi_2:A_2 \rightarrow X_2 $ , entonces se sigue que $ A_1 \times A_2 \cong X_1 \times X_2 $ bajo el isomorfismo $\phi(a_1,a_2)=(\phi_1(a_1),\phi_2 (a_2) )$

Estoy interesado en saber si el contrario de esta afirmación es cierta.

Si $\phi: A_1 \times A_2 \rightarrow X_1 \times X_2 $ es un isomorfismo, es verdad eso de $A_1 \cong X_1 $ bajo un isomorfismo $ \phi_1 $ $ A_2 \cong X_2 $ bajo un isomorfismo $\phi_2$ tal que $ \phi(a_1,a_2)= (\phi_1 (a_1), \phi (a_2)) $?

Answer 1

No, y esto es siempre falsa para cualquier grupo que puede ser escrito como un producto directo de una no-forma trivial. Por ejemplo, si $G = A \times B$ ni $A$ ni $B$ el trivial grupo, entonces

$$A \times B = G \equiv G \times \{e\}$$

Answer 2

Otro ejemplo: supongamos $A\not\cong B$. A continuación,$A\times B\cong B\times A$ . . .

Answer 3

Me gustaría añadir a las respuestas ya a condición de que incluso si $A_1\cong X_1$$A_2\cong X_2$, puede que no existen isomorphisms $\phi_1:A_1\to X_1$ $\phi_2:A_2\to X_2$ tal que $\phi(a_1,a_2)=(\phi_1(a_1),\phi_2(a_2))$. Por ejemplo, supongamos $A_1=A_2=X_1=X_2=\mathbb{Z}$ y considerar la posibilidad de $\phi:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$$\phi(a,b)=(a,b+a)$. A continuación, $\phi$ es un isomorfismo (su inversa está dada por $(a,b)\mapsto(a,b-a)$), pero no puede venir de un par de isomorphisms $\phi_1$ $\phi_2$ debido a que la segunda coordenada de $\phi$ depende tanto de las coordenadas de la entrada.

Answer 4

Esto no es cierto: Vamos a $A_1 = \mathbb{Z}$, y considerar la posibilidad de $A_2 = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \cdots$. También vamos a $X_1$ ser el trivial grupo, y $X_2 = A_2$. Entonces $$ A_1 \times A_2 \cong A_2 \cong X_1 \times X_2 $$ y $A_2 \cong X_2$, pero $A_1$ no es isomorfo a $X_1$.