Métodos para encontrar$f$, dadas las funciones$f \circ g$ y$g$

Question

Hay un camino, que es utilizar el hecho de que $ \ f(g(g^{-1}(x)))=f(x)$. Pero este método sólo funciona si $g$ tiene un derecho inversa. Hay otros métodos heurísticos, que es el de "adivinar la forma" de $ \ f$, dada la función de composición.

Pero ¿existe un método de gran alcance que puede ser provechosamente utilizado por los no-cálculo de los estudiantes? ¿Qué acerca de los métodos de cálculo?

Pregunto esto porque el público Malayo exámenes de hacer estas preguntas un montón, y los estudiantes normalmente saltar a la derecha en estos llamados "encontrar el exterior la función de" preguntas suponiendo que $g$ es invertible, y luego entrar en un nudo cuando no lo es.

Answer 1

Puedes intentar dejar$y=g(x)$ y encontrar una expresión para$f(y)$.

Ejemplo:

$fg(x)=x^2+2$,$g(x)=x-1$.

Dejar $y=x-1$. Por lo tanto$x=1+y$. Por lo tanto$fg(x)=f(y)=(1+y)^2+2=y^2+2y+3$.

Por lo tanto$f(x)=x^2+2x+3$.