Estoy tratando de probar el siguiente teorema.
Deje que $ \gamma = \gamma (s)$ ser una curva espacial regular, parametrizada por su longitud de arco $s$ . Si $ \kappa =0$ es la curvatura de $ \gamma $ Entonces $ \gamma (s)$ es una línea recta.
Ahora procedí a usar la primera ecuación de Serret-Frenet $ \mathbf t'= \kappa \mathbf n$ que nos da $ \mathbf t'= \mathbf 0$ en otras palabras, $ \mathbf t$ es un vector constante. Claramente, si una curva tiene un vector tangente constante, entonces debe ser una línea recta.
Cuando busqué la prueba de mi profesor, él la probó de manera similar pero realizó un paso adicional:
Ahora $$ \frac { \mathrm d}{ \mathrm d s}( \mathbf r \times\mathbf t)= \mathbf t \times\mathbf t+ \mathbf r \times\mathbf t'= \mathbf 0,$$ así que $ \mathbf r \times\mathbf t$ es también un vector constante, es decir. $ \mathbf r \times\mathbf t= \mathbf a$ donde $ \mathbf a$ es un vector constante. Esto corresponde a la ecuación de una línea recta.
Es este paso el que no entiendo. ¿Cómo se corresponde con la ecuación de una línea recta? ¿No debería ser $ \mathbf r= \mathbf a+t \mathbf b$ ? ¿Y es este paso adicional necesario para probar el resultado?
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Bueno, $\boldsymbol{\gamma}''(s)=\mathbf{t}'(s)=0$ es suficiente para que una curva diferenciable en el espacio euclidiano sea una línea recta. Así que no estoy seguro de por qué se hace ese paso extra. Por otro lado, para un círculo $\boldsymbol{\gamma}(s)=\begin{pmatrix}\cos(s)\\ \sin(s)\\0\end{pmatrix}$ tienes que $\boldsymbol{\gamma}(s)\times\mathbf t(s)=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ siendo constante, por lo que el producto cruzado siendo constante no es la ecuación de una recta.
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@s.harp -- El vector $\vec t$ no es constante para un círculo. La ecuación $\vec r \times \vec t = \vec a$ donde ambos $\vec t$ (distinto de cero) y $\vec a$ (ortogonal a $\vec t$ ) son constantes, sí describe una línea.