Hay un número finito de $n$ -grupos de papel pintado de dimensiones

Question

Hay $7$ Grupos de frisos , $17$ Grupos de papeles pintados y $230$ grupos espaciales que son los casos de isometrías de 1,2,3 dimensiones en $\Bbb R^n$ (Creo que ) Los grupos de Frieze parecen requerir $[0,1]\times\Bbb R$ en lugar de sólo $\Bbb R$ ). Sin embargo, lo que las páginas enlazadas no explican es por qué se espera que la lista sea finita; supongo que la gente que se propuso clasificar estas cosas ya lo sabía o, de lo contrario, el intento de enumeración no tendría sentido.

(Corríjanme si me equivoco, pero) la definición general de un $n$ -es un subgrupo discreto infinito del grupo euclidiano $E(n)$ de isometrías de $\Bbb R^n$ presumiblemente topologizado por compacto-abierto, para que tenga sentido el apelativo de "discreto".

La pregunta es: Dada la definición anterior, demuestre que hay un número finito de $n$ -grupos de espacios dimensionales hasta el isomorfismo.

Answer 1

Hay dos definiciones útiles en este contexto:

1. A grupo cristalográfico de la euclidiana $n$ -es un subgrupo discreto $\Gamma$ del grupo de isometría $Isom(E^n)$ de $E^n$ , de tal manera que $E^n/\Gamma$ es compacto.

2. Un subgrupo discreto $Isom(E^n)$ .

También hay que decidir la noción de equivalencia entre dichos subgrupos: La conjugación en $Isom(E^n)$ , la conjugación en $Aff(E^n)$ , conjugación topológica, un isomorfismo abstracto. Utilizaré el isomorfismo abstracto como relación de equivalencia.

Hay varios teoremas importantes en este contexto, todos debidos a Bieberbach.

Teorema 1. Para cada subgrupo discreto $\Gamma< Isom(E^n)$ existe un $\Gamma$ -subespacio afín invariante $A\subset E^n$ , de tal manera que $A/\Gamma$ es compacto.

Teorema 2. Para cada $n$ hasta la conjugación afín, sólo hay un número finito de grupos cristalográficos de $Isom(E^n)$ .

Por otro lado,

Lema. Hasta un isomorfismo existen infinitos subgrupos discretos de $Isom(E^3)$ .

Prueba: Consideremos los grupos cíclicos finitos de rotaciones de $E^3$ fijar una línea $L$ . Ahora, tomemos el producto directo de dichos grupos con un grupo cíclico infinito de traslaciones de $E^3$ a lo largo de $L$ . qed

Sin embargo, en vista de los teoremas 1 y 2, se cumple el siguiente teorema de finitud:

Teorema 3. Para cada $n$ hay un número finito de subgrupos de isometría discreta de $Isom(E^n)$ , $\{\Gamma_1,...,\Gamma_k\}$ , tal que cada subgrupo discreto $\Gamma$ de $Isom(E^n)$ contiene un subgrupo normal de índice finito $\Phi< \Gamma$ , de tal manera que $\Gamma/\Phi\cong \Gamma_i$ para algunos $i$ .

Nota: Se puede incluso reducir la pretensión de finitud aquí a subgrupos abelianos normales finitos de $\Gamma$ .

Lee:

J.Wolf, "Espacios de curvatura constante".