Irreductibilidad de un polinomio en $\mathbb{Q}(Y,Z)[X]$

Question

Estoy tratando de demostrar que el polinomio

$$X^3+(Z^3+Z^2+Y^2Z+Y-1)X^2+(Z^3+Z^2+Y^2Z+Y-1)Y^2\in\mathbb{Q}(Y,Z)[X]$$

es irreducible.

Gracias al criterio de Eisenstein, bastaría con demostrar que $$ZY^2+Y+Z^3+Z^2-1\in\mathbb{Q}[Y][Z]$$ es irreducible. Sin embargo, no veo cómo atacar este problema. ¿Podría alguien darme un consejo?

Answer 1

Como corolario del lema de Gauss, sabemos que si $D$ es un UFD, y $f(x)\in D[x]$ es un polinomio que es primitivo (un gcd de los coeficientes es $1$ ), entonces $f(x)$ es irreducible en $D[x]$ si y sólo si $f(x)$ es irreducible en $K[x]$ , donde $K$ es el campo de fracciones de $D$ .

Puede ver $ZY^2+Y+Z^3+Z^2-1$ como elemento de $(\mathbb{Q}[Z])[Y]$ . Desde $\mathbb{Q}[Z]$ es un UFD, y este polinomio es primitivo como un polinomio en $Y$ ( $\gcd(Z,Z^2-1) = 1$ ), entonces es irreducible en $\mathbb{Q}[Y,Z]$ si y sólo si es irreducible en $\mathbb{Q}(Z)[Y]$ donde el polinomio es cuadrático. Para que sea reducible allí tiene que tener una raíz, y las raíces vienen dadas por la fórmula cuadrática. El discriminante es $$1 - 4Z(Z^3+Z^2-1) = -4Z^4 -4Z^3 + 4Z + 1$$ que tendría que ser un cuadrado perfecto en $\mathbb{Q}(Z)$ por lo que (por el teorema de la raíz racional) es un cuadrado perfecto en $\mathbb{Q}[Z]$ .

Pero en $\mathbb{Q}[Z]$ cualquier cuadrado perfecto tiene un coeficiente inicial positivo, por lo que este elemento no es un cuadrado en $\mathbb{Q}[Z]$ como el discriminante del polinomio no es un cuadrado perfecto, el polinomio no tiene raíces en $\mathbb{Q}(Z)$ por lo que es irreducible en $\mathbb{Q}(Z)[Y]$ y por lo tanto es irreducible en $\mathbb{Q}[Y,Z]$ .

Answer 2

La estrategia general es considerar los grados de los términos de tu polinomio. Si es un factor como $fg$ , entonces cada uno de $f,g$ deben ser de menor grado que tu polinomio, es decir, deben ser de grado 2. De hecho, uno de ellos debe ser lineal ya que tienes un polinomio de grado 3.

Por lo tanto, asuma $f=aZ^2+bY^2+cZY+dZ+eY+k$ y que $g=lZ+mY+n$ y ampliar $fg$ . Se ve enseguida que, por ejemplo, o bien $b=0$ o $m=0$ porque de lo contrario $fg$ contendría un $Y^3$ -Término.

Debería llegar a una contradicción.